21．(丁中)求经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程。

错解：无，。

错因：把相切作为直线与双曲线有且仅有一个公共点的充要条件。

正 解：当存在时，设所求直线方程为，代入双曲线，

　　　　 得

(1)　　　 当时，直线方程为与双曲线只有一个公共点。

(2)　　　 当时，直线方程为与双曲线只有一个公共点。

(3)　　　 当直线和双曲线相切时，仅有一个公共点，此时有

得，可得直线方程为

　　　　 当不存在时，直线也满足题意。

故经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程有四条，它们分别为：，，，。

20．(丁中)已知双曲线，过点B(1，1)能否作直线，使直线与双曲线交于两点，且B是线段的中点？样的直线若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。

错解：直线为。

错因：忽视了直线与双曲线交于两点的隐含条件。

正解：假设存在直线，设，则有

得

显然

由中点公式得，，

由斜率公式得斜率

又使直线与双曲线交于两点，由得，此方程必有两个不相等的实数根。而此时，方程无实数根，即直线与双曲线无交点，因此直线不存在。

19．(丁中)直线y=kx+1与双曲线3x²－y²=1相交于不同的两点A、B：

(1)求实数k的取值范围；

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求该圆的直径.

错解：

错因：由可得，忽视，仅考虑

正解：k的取值范围是

18．(丁中)求与椭圆有公共顶点，且离心率为的双曲线方程.

错解：

错因：忽视了椭圆的短轴上的两个顶点。

正解：，

17．(丁中)已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C：x²+y² = m²，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围。

错解：,

错因：将题中的实数m当成了圆的半径，误认为m>0。

正解：且

16．(一中)已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线于A、B两点，且

　 (1)求直线AB的方程；

　 (2)若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

解：(1)设直线AB：代入得

　　 　　　　(＊)

　　　　 令A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁、x₂是方程的两根

　　　　 ∴　 　且 　　

　　　　 ∵　 　　∴　 N是AB的中点　 ∴　

　　　　 ∴　 　　k = 1　　 ∴AB方程为：y = x + 1 

　 (2)将k = 1代入方程(＊)得　 或 

　　　　 由得，

　　　　 ∴　 ，

　　　　 ∵　 　　∴　 CD垂直平分AB　　 ∴　 CD所在直线方程为

　　　　 即代入双曲线方程整理得

　　　　 令，及CD中点

　　　　 则，，　 ∴，　

　　　　 |CD| =，

　　　　 ，即A、B、C、D到M距离相等

　　　　 ∴　 A、B、C、D四点共圆

15．(一中)如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(I)建立适当的坐标系，求椭圆方程；

(II)如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使．

解：(I)以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A(2，0)，则椭圆方程为

　　　 ∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB|

　　　 又∵， ∴AC⊥BC

　　　 又∵|BC|＝2|AC|　 ∴|OC|＝|AC|

　　　 ∴△AOC为等腰直角三角形　

　　　 ∴点C的坐标为(1，1)　 ∴点B的坐标为(－1，－1)

　　　 将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得，

　　　 则求得椭圆方程为　　　

　　　 (II)由于∠PCQ的平分线垂直于OA(即垂直于x轴)，不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC、QC的直线方程分别为y＝k(x－1)+1，y＝－k(x－1)+1

　　　 由　 得(1+3k²)x²－6k(k－1)x+3k²－6k－1＝0 *)

　　　 ∵点C(1，1)在椭圆上，

　　　 ∴x＝1是方程(*)的一个根，∴x_P•1＝即x_P＝

　　　 同理x_Q＝　

　　　 ∴直线PQ的斜率为(定值)

又∠ACB的平分线也垂直于OA

　　　 ∴直线PQ与AB的斜率相等(∵k_AB=)

　　　 ∴向量，即总存在实数，使成立．

14．(城西中学)设F₁、F₂是双曲线-=1(a>0)的两个焦点

⑴若点P在双曲线上,且·＝0,||·||=2，求双曲线的方程。

⑵设曲线C是以⑴中的双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆，若F₁’、F₂’分别是其左右 焦点，点Q是椭圆上任一点，M(2，)是平面上一点，求|QM|+|QF₁’|的最大值。

正确答案：⑴因为·＝0，∴⊥依题意

|｜²+||²=||²　　①

|｜+||=2　　　 ②

||｜-|||=4　　③

①-③²：2||·||=4a，将②代入得a=1，

所以双曲线的方程为-y²=1

⑵由⑴及题意可得C的方程为+y²=1，所以|QF₁’|+|QF₂’|=2

且F₁’(-2,0),F₂’(2,0)，显然M点在椭圆内部。

所以|QM|+|QF₁’|=|QM|+2-|QF₂’|≤2+|MF₂’|

如图当|QM|-|QF₂’|=|MF₂’|时　|QM|-|QF₂’|的值最大

所以|QM|+|QF₁’|的最大值为2+

错因：第二问的转化出错。

13．(磨中)设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P(0，)

到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点坐标。

　 正确答案：+y²=1

　 错语原因：①利用相切的条件求解设有理论依据

②求最值时忽视了b的范围而没有加以讨论，导致解题过程出错。

12．(磨中)设抛物线y²=2Px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O。

　 正确答案：见2001年全国高考理19题

　 错误原因：设直线斜率为k，考虑到一般情况，而忽视了特殊情况。