5.　 ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：

①.

②若，是纯虚数.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：.

4. ⑴①复数的乘方：

②对任何，及有

③　

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.

②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

若是1的立方虚数根，即，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

3. 共轭复数的性质：

，(a + bi)　　　　　　　

()　　　　　　　　　　　　　　　

注：两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：.

其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.

由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.

⑵曲线方程的复数形式：

①为圆心，r为半径的圆的方程.

②表示线段的垂直平分线的方程.

③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程(若，此方程表示线段).

④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程(若，此方程表示两条射线).

⑶绝对值不等式：

设是不等于零的复数，则

①.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

②.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

注：.

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.

⑵复数及其相关概念：

①　　 复数-形如a + bi的数(其中)；

②　　 实数-当b = 0时的复数a + bi，即a；

③　　 虚数-当时的复数a + bi；

④　　 纯虚数-当a = 0且时的复数a + bi，即bi.

⑤　　 复数a + bi的实部与虚部-a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数)

⑥　　 复数集C-全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若为复数，则若，则.(×)[为复数，而不是实数]

若，则.(√)

②若，则是的必要不充分条件.(当，

时，上式成立)

10. 将in划去

9. question - questions

8. 在They后加were

7. have -had

5. his - their