5.根据下面各个数列的首项和递推关系,求其通项公式
⑴
⑵
⑶
4.设在等比数列中,求及
3.若数列中,,且 ,则数列的通项 .
2.一个首项为正数的等差数列中,前3项的和等于前11项的和,当这个数列的前n项和最大时,n等于. ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
1.设S和T分别为两个等差数列的前n项和,若对任意n∈N,
( )
A.4∶3 B.3∶2 C.7∶4 D.78∶71
例1.(08全国卷)设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ)设,求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,求的取值范围.
解:(Ⅰ)依题意,,即,
由此得.
因此,所求通项公式为
,.①
(Ⅱ)由①知,,
于是,当时,
,
,
当时,
.
又.
综上,所求的的取值范围是.
例2.(08山东高考题)将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
记表中的第一列数构成的数列为,.为数列的前项和,且满足.
(Ⅰ)证明数列成等差数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数(Ⅰ)证明:由已知,当时,,
又,
所以,
即,
所以,
又.
所以数列是首项为1,公差为的等差数列.
由上可知,
即.
所以当时,.
因此
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为,且.
因为,
所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项,
故在表中第13行第三列,
因此.
又,
所以.
记表中第行所有项的和为,
则.当时,求上表中第行所有项的和.
例3.(08宁夏)已知数列是一个等差数列,且,。
(1) 求的通项;
(2) 求前n项和的最大值。
解:(Ⅰ)设的公差为,由已知条件,,解出,.
所以.
(Ⅱ).
所以时,取到最大值.
例4.(08广东)设数列满足,, 。数列满足是非零整数,且对任意的正整数和自然数,都有。
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,求数列的前项和。
解:(1)由得(n≥3)
又a2-a1=1≠0,
∴数列{an+1-an}是首项为1公比为的等比数列,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
=,
由 得b2=-1,由 得b3=1,…
同理可得当n为偶数时,bn=-1;当n为奇数时,bn=1;
|
|
Sn=c1+c2+c3+c4+…+cn
当n为奇数时,
=
当n为偶数时
=
令Tn= ……①
①×得:Tn= ……②
①-②得:Tn =
= ∴Tn =
|
例5.设二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用表示a;
例6.数列中,且满足
⑴求数列的通项公式;
⑵设,求;
⑶设=,是否存在最大的整数,使得对任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
解:(1)由题意,,为等差数列,设公差为,
由题意得,.
(2)若,
时,
故
(3)
若对任意成立,即对任意成立,
的最小值是,的最大整数值是7。
即存在最大整数使对任意,均有.w.w.k.s.5.u.c.o.
说明:本例复习数列通项,数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。
例7.如图,在y轴的正半轴上依次有点其中点,且,在射线上依次有点点的坐标为(3,3),且
⑴用含的式子表示;
⑵用含的式子表示的坐标;
⑶求四边形面积的最大值。
解:(1),
(2)由(1)得
的坐标,
是以 为首项, 为公差的等差数列
(3)连接,设四边形的面积为,则
单调递减.
的最大值为.
说明:本例为数列与几何的综合题。由题意知为等比,为等差,(3)利用函数单调性求最值。
例8.设正数数列{a}为一等比数列,且a=4,a=16.
说明:本题涉及对数、数列、极限的综合题,主要考查等比数列的定义及通项公式,等差数列前n项和公式,对数计算,求数列极限等基础知识,以及综合运用数学知识的能力.
8.通过解题后的反思,找准自己的问题,总结成功的经验,吸取失败的教训,增强解综合题的信心和勇气,提高分析问题和解决问题的能力.
数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题转化为数学问题来解决。
7.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略.
6.数列的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列的概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路.
5.注意与之间关系的转化。如:
= , =.
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