9.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数个数为 ( )
A.240 B.204 C.729 D.920
解析:分8类,当中间数为2时,有1×2=2种;
当中间数为3时,有2×3=6种;
当中间数为4时,有3×4=12种;
当中间数为5时,有4×5=20种;
当中间数为6时,有5×6=30种;
当中间数为7时,有6×7=42种;
当中间数为8时,有7×8=56种;
当中间数为9时,有8×9=72种.
故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240种.
答案:A
8.(2010·淮阴模拟)已知集合M∈{1,-2,3},N∈{-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是 ( )
A.18 B.10 C.16 D.14
解析:M中的元素作点的横坐标,N中的元素作点的纵坐标,在第一象限的点共有2×2个,在第二象限的点共有1×2个.N中的元素作点的横坐标,M中的元素作点的纵坐标,在第一象限的点共有2×2个,在第二象限的点共有2×2个.所求不同的点的个数是2×2+1×2+2×2+2×2=14(个).
答案:D
7.用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色.
(1)若n=6,则为甲图着色的不同方法共有________种;
(2)若为乙图着色时共有120种不同方法,则n=________.
解析:(1)由分步乘法计数原理,对区域①②③④按顺序着色,共有6×5×4×4=480种方法.
(2)与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由2块变成了3块.同样利用分步乘法计数原理,得n(n-1)(n-2)(n-3)=120.所以(n2-3n)(n2-3n+2)=120,即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10=0,所以n2-3n-10=0,n2-3n+12=0(舍去),解得n=5,n=-2(舍去).
答案:(1)480 (2)5
题组三 |
两个计数原理的综合应用 |
6.(2010·本溪模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC
与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个
几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同
色,则不同的染色方案共有________种.
解析:先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有×××=3×2×1×2=12种不同的涂法.
答案:12
5.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有 ( )
A.6个 B.9个 C.18个 D.36个
解析:由题意知,1,2,3中必有某一个数字重复使用2次.第一步确定谁被使用2次,有3种方法;第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有3种方法;第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上,有2种方法.故共可组成3×3×2=18个不同的四位数.
答案:C
4.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为 ( )
A.504 B.210 C.336 D.120
解析:三个新节目一个一个插入节目单中,分别有7,8,9种方法,∴插法种数为7×8×9=504或÷=504.
答案:A
3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有________种.
解析:分三类:甲在周一,共有种排法;
甲在周二,共有种排法;
甲在周三,共有种排法.
∴++=20.
答案:20
题组二 |
分步乘法计数原理 |
2.某校开设10门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门.学校规定,每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是 ( )
A.120 B.98 C.63 D.56
解析:分两类:第一类A,B,C三门课都不选,有=35种方案;第二类A,B,C中选一门,剩余7门课中选两门,有=63种方案.故共有35+63=98种方案.
答案:B
1.右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图,公司在
年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件.
在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件
分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修
点之间进行,那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 ( )
A.15 B.16 C.17 D.18
解析:只需A处给D处10件,B处给C处5件,C处给D处1件,共16件次.
答案:B
24.(本小题满分10分)
已知直线l经过点P(1,1),倾斜角.
(Ⅰ)写出直线l的参数方程
(Ⅱ)设l与圆x2+y2=4相交与两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.
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