15．甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.6、0.3、0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.4、0.4、0.2.设甲、乙的射击相互独立．

(1)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；

(2)求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．

解：记A₁，A₂分别表示甲击中9环，10环，

B₁，B₂分别表示乙击中8环，9环，

A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，

B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，

C₁，C₂分别表示三轮中恰有两轮、三轮甲击中环数多于乙击中的环数．

(1)A＝A₁·B₁+A₂·B₁+A₂·B₂，

P(A)＝P(A₁·B₁+A₂·B₁+A₂·B₂)

＝P(A₁·B₁)+P(A₂·B₁)+P(A₂·B₂)

＝P(A₁)·P(B₁)+P(A₂)·P(B₁)+P(A₂)·P(B₂)

＝0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4＝0.2.

(2)B＝C₁+C₂，

P(C₁)＝C[P(A)]²[1－P(A)]＝3×0.2²×(1－0.2)＝0.096，

P(C₂)＝[P(A)]³＝0.2³＝0.008，

P(B)＝P(C₁+C₂)＝P(C₁)+P(C₂)＝0.096+0.008＝0.104.

14．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立．

(Ⅰ)若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；

(Ⅱ)若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．

解：(Ⅰ)设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.从而甲命中但乙未命中目标的概率为

P(A)＝P(A)P()＝×(1－)＝.

(Ⅱ)设A_k表示甲在两次射击中恰好命中k次，B_l表示乙在两次射击中恰好命中l次．

依题意有

P(A_k)＝C()^k()^2－k，k＝0,1,2.

P(B_l)＝C()^l()^2－l，l＝0,1,2.

由独立性知两人命中次数相等的概率为

P(A₀B₀)+P(A₁B₁)+P(A₂B₂)

＝P(A₀)P(B₀)+P(A₁)P(B₁)+P(A₂)P(B₂)

＝()²·()²+C···C··+C·()²·C·()²

＝×+×+×＝＝0.4825.

13．已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

(Ⅰ)求取出的4个球均为红球的概率；

(Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率．

解：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．

(Ⅰ)设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B.由于事件A，B相互独立，且P(A)＝＝，P(B)＝＝.

故取出的4个球均为红球的概率是

P(A·B)＝P(A)·P(B)＝×＝.

(Ⅱ)设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D.由于事件C，D互斥，且

P(C)＝·＝，

P(D)＝·＝.

故取出的4个球中恰有1个红球的概率为

P(C+D)＝P(C)+P(D)＝+＝.

12．(2008·湖南)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：

(1)至少有1人面试合格的概率；

(2)没有人签约的概率．

解：用A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A、B、C 相互独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝.

(1)至少有1人面试合格的概率是1－P(··)＝1－P()P()P()＝1－()³＝.

(2)没有人签约的概率为

P(·B·)+P(··C)+P(··)

＝P()P(B)P()+P()P()P(C)+P()P()P()

＝()³+()³+()³＝.

11．在等差数列{a_n}中，a₄＝2，a₇＝－4，现从{a_n}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为__________(用数字作答)．

答案：

解析：由a₄＝2，a₇＝－4可得等差数列{a_n}的通项公式为a_n＝10－2n(n＝1,2，…，10)；由题意，三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为，取得负数的概率为，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C()²()¹＝.

10．(2008·温州十校)甲、乙两颗卫星同时监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8、0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．

答案：0.95

解析：甲、乙两颗卫星预报都不准确的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05，所以至少有一颗预报准确的概率为1－0.05＝0.95.

9．(2007·湖北)某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为__________．(用数值作答)

答案：

解析：由独立重复试验概率公式可得

C()³(1－)^10－3＝.故填.

8．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2个在车厢内相遇的概率为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：B

解法一：设A表示“至少有2人在车厢内相遇”的事件，A₁表示“恰有2人在车厢内相遇”的事件，A₂表示“3人在同一车厢内相遇”的事件，那么A＝A₁+A₂，且A₁、A₂彼此互斥．

又P(A₁)＝，P(A₂)＝，

∴P(A)＝P(A₁)+P(A₂)＝＝.

解法二：事件A的对立事件为“3人分别在3节车厢”．

则P()＝，

∴P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.

7．(2009·河南调考)某班级要从5名男生、3名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有一名女生，那么选派的4人中恰好有2名女生的概率为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：D

解析：从5名男生、3名女生中选派4人参加某次社区服务，至少有一名女生的选法有CC+CC+CC，恰好有2名女生的选法有CC，则所求概率为，故选D.

6．一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是(　)

A．0.1536　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．0.1808

C．0.5632　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．0.9728

答案：D

解析：“一小时内至多2台机床需要工人照看”的事件，有0,1,2台需要照看三种可能，因此所求概率为

P＝C×0.2⁰×0.8⁴+C×0.2¹×0.8³+C×0.2²×0.8²＝0.9728，

或1－(C×0.2³×0.8+C×0.2⁴)＝0.9728.故选D.