7、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。

如(1)(0.998)⁵精确到0.001近似值为____0.990　　　　　　　　　 ____；

(2)被4除所得的余数为__　　　　　　　 ___；

(3)今天是星期一，100⁴⁵天后是星期___　 二　　　　　　　　 __；

(4)求证：能被64整除；

(5)求证：6、(1)二项式定理：(a+b) =Ca+ Cab+…+ Cab+…+Cb　 n∈N，它共有n+1项，其中C(r=0,1,2…n)叫做二项式系数，Cab叫做二项式的通项，用T表示，即通项为展开式的第r+1项，T＝Cab_，

特别提醒：(1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第r+1项的二项式系数为，第r+1项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；

(2)当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；

(3)审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？

_如：(1)的展开式中常数项是_　　　　　　 ___；

(2)的展开式中的的系数为______　　　　 ；

(3)数的末尾连续出现零的个数是_　 3个　　　　　　　 ___；

(4)展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有_　　 7 ___项；

(5)若的值能被5整除，则的可

取值的个数有__　　　 5　　　　　 __个；

(6)若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是　　　　 　　　　　　　　；

(7)函数的最大值是_______　　　　　　　　　 .

(2)、在二项式定理中，对a,b取不同的值可推出许多常用的式子：

(1)(1+x)=1+Cx+Cx+…+Cx+…+x (a=1,b=x)

(2) C+ C+…+ C+…+C=2　 (a=b=1)

(3) C+ C++…= C++…=2 (a=1 b=-1)

应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为，以及“偶数 (奇次)项”系数和为。

如(1)如果，则　　　 ；

(2)化简得　　　　

(3)已知，则等于__ ；

(4)，则+

＝_　　　　　 ____；

(5)设,则_____。

(3)、杨辉三角：　　　　　　　　　1　　　

2　　　　　　　　　　 1　　　　　(a+b)

　　　　　　　　　　　1　2　　1　　　　　　　　 (a+b)　　　　　　　

　　　　　　　　　　1　3　　3　1　　　　　　　 (a+b)

1　4　6　　4　1　　　　　 (a+b)

1　5　10　10　　5　1　　　 (a+b)　

1　6　15　20　15　6　1　　 (a+b)

表中除1以外的其余各数都等于它肩上的两个数之和。

当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数。

(4)、二项式系数的性质：

1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

2)增减性与最大值：当r≤时，二项式系数C的值逐渐增大，当r≥时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。

当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值

如(1)在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为______　　　　 ；

(2)在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则＝___　 18　　　　 _。

(5)、求二项式展开式中的系数绝对值最大的项常先判断系数的绝对值的单调性。求二项式展开式中的系数最大的项在上面的基础上再分析符号。

设第项的系数最大，由不等式组确定。或由来确定。

如求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。

5、排列组合应用题的最基本的解法有：

1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法。如：

(1)用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数__156_____个；

(2)某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_6____；

先排第一节，再对第二节分类讨论。

(3)四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。①恰有两个空盒的放法有84_____种；②甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_96_____种。(1)分三步：第一步先选两个空盒，第二步把四个球分成两组，第三步把分成的两组放入余下的两个空盒中。。(2)

(4)设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有______ 31　　　 ___

从反面考虑，并用全错位法。

2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。

如(1)正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，能构成多少个直角三角形。

(2) 正方体的八个顶点中任取四个点为四面体的顶点，能构成多少个这样的四面体？

(3)在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____。15。注意有四点共线与三点共线。

3)先选后排，注意分类讨论。选取问题先选后排法。

如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是__。

常用技巧有：

1)插空法(不相邻)，捆绑法(相邻问题)，

(1)把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为____2880_；

(2)某人射击8枪，命中4枪，4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为__20_；

先捆绑后插空。

(3)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是___ 144　　　 __

连续编号有：(12)(23)(34)(45)(56)，

(4)3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_24__种；

(5)某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为___　 42　　　 __。

2)插板法(可化为正整数解的问题)，相同元素分组可采用隔板法。

如(1)10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？

答　　　　　　 36,15　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？

答　　　 9个洞，插6块板，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3)等分法，如：5人站队，要求甲站在乙的前面，有多少种不同的站法？60

4)平均分配(n个元素平均分成m组)。要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种(答：37440)；

5)

解排列组合问题的依据是：

分类相加(每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事)，

分步相乘(一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的)，

有序排列，无序组合．

如(1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有　　 243　　　　 　　种；

(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有　 　　　70　　　 　种；

(3)从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_　　 23　　　　 __；

(4)72的正约数(包括1和72)共有　 　12　　　　 　个；

(5)的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成___　 90　　　 __个三角形；

按含A与不含A分类。

(6)(涂色问题：用分类讨论法)用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有　 　　　　　　480　　　　　　 　　种不同涂法；

引伸练习：上题中变为如图A、B、C、D、E五块区域，又有多少种不同的涂法。

分类法：分四类：(1)B、C同色，且A、D同色，(2)B、C同色，且A、D不同色，(3)B、C不同色，且A、D同色，(4)B、C不同色，且A、D不同色，共1560。

(7)同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有　　 　　　.9　　　　　 　种；

(8)是集合到集合的映射，且

，则不同的映射共有　　 　7　　　　　 　　个；列表分类。

(9)满足的集合A、B、C共有　　 　　　　　　　　组。6、(1)二项式定理：(a+b) =Ca+ Cab+…+ Cab+…+Cb　 n∈N，它共有n+1项，其中C(r=0,1,2…n)叫做二项式系数，Cab叫做二项式的通项，用T表示，即通项为展开式的第r+1项，T＝Cab_，

特别提醒：(1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第r+1项的二项式系数为，第r+1项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；

(2)当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；

(3)审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？

_如：(1)的展开式中常数项是_　　　　　　 ___；

(2)的展开式中的的系数为______　　　　 ；

(3)数的末尾连续出现零的个数是_　 3个　　　　　　　 ___；

(4)展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有_　　 7 ___项；

(5)若的值能被5整除，则的可

取值的个数有__　　　 5　　　　　 __个；

(6)若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是　　　　 　　　　　　　　；

(7)函数的最大值是_______　　　　　　　　　 .

(2)、在二项式定理中，对a,b取不同的值可推出许多常用的式子：

(1)(1+x)=1+Cx+Cx+…+Cx+…+x (a=1,b=x)

(2) C+ C+…+ C+…+C=2　 (a=b=1)

(3) C+ C++…= C++…=2 (a=1 b=-1)

应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为，以及“偶数 (奇次)项”系数和为。

如(1)如果，则　　　 ；

(2)化简得　　　　

(3)已知，则等于__ ；

(4)，则+

＝_　　　　　 ____；

(5)设,则_____。

(3)、杨辉三角：　　　　　　　　　1　　　

1　　　　　　　　　　 1　　　　　(a+b)

　　　　　　　　　　　1　2　　1　　　　　　　　 (a+b)　　　　　　 　　

　　　　　　　　　　1　3　　3　1　　　　　　　 (a+b)

1　4　6　　4　1　　　　　 (a+b)

1　5　10　10　　5　1　　　 (a+b)　

1　6　15　20　15　6　1　　 (a+b)

表中除1以外的其余各数都等于它肩上的两个数之和。

当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数。

(4)、二项式系数的性质：

1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

2)增减性与最大值：当r≤时，二项式系数C的值逐渐增大，当r≥时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。

当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值

如(1)在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为______　　　　 ；

(2)在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则＝___　 18　　　　 _。

(5)、求二项式展开式中的系数绝对值最大的项常先判断系数的绝对值的单调性。求二项式展开式中的系数最大的项在上面的基础上再分析符号。

设第项的系数最大，由不等式组确定。或由来确定。

如求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。

4、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C表示。

组合数公式：C＝，

组合数性质：(1)C＝，(2)

(倒序法，或利用)

如：

3、排列的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。

排列数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示。A＝n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=,规定：0！＝1，排列数恒等式(1);(2);(3)

(4)

阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1×2×3×…×n表示　.

(1)1！+2！+3！+…+n！()的个位数字为　 　3　　　　 　；

(2)满足的＝　 　8　　　　 　　

2、全错位法，n个编有号码1,2，3，…n的元素，放入编有号码1,2，3，…n的n个位置，并使元素编号与位置编号不同，则共有多少种放法？n=1时，有0种，n=2时有1种,n=3时，有2种，n=4时，有9种，n=5时，有44种,…一般，，

1、分类计数原理(也称加法原理)：完成一件事，有n类方法，在第一类方法中有m种不同的方法，在第二类方法中有m种不同的方法，…，在第n类方法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+m+…+m不同的方法。

注：每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事。

分步计数原理(乘法原理)：完成一件事，需要n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有m种不同的方法，…做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=mm…m不同的方法。注：一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各步是关联的。

某些复杂的计数问题有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，分类中有分步，分步中有分类。

7、几个结论：

(3)

(4)

(5)

(6)

第二十三讲计数原理、排列组合与二项式定理

2、两个复数相等的充要条件：

6、复数的运算：(1)、复数的加减法则：

(2)、复数的乘法与除法：乘法注意应用分配律，除法是先写出分式的形式，再分子、分母同时乘以分母的共轭复数。

特别注意：

1、　 数的分类：

6、　 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法。数学归纳法：是证明与自然数集有关的命题，它是在归纳的基础上进行的演绎推理，所得结论一般是正确的。是不完全归纳法的一种。

数学归纳法的一般步骤是：(1)验证时，结论正确，是使命题成立的最自然数。(2)假设当时命题成立，证明当时命题也成立，(3)作结论，由(1)(2)知命题成立。

第二十二讲数系的扩充与复数的引入