20. 解:(1)设AB的函数表达式为
∵∴∴
∴直线AB的函数表达式为.
(2)设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点,依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N,在直角三角形AOB中,
因为⊙M经过O、A、B三点,且⊙M的直径,∴半径MA=5,∴N为AO的中点AN=NO=4,∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2,∴C点的坐标为(-4,2).
设所求的抛物线为
则
∴所求抛物线为
(3)令得D、E两点的坐标为D(-6,0)、E(-2,0),所以DE=4.
又AC=直角三角形的面积
假设抛物线上存在点.
当故满足条件的存在.它们是.
19. 解:(1)25.
(2)能.
如图,连结,过点作于点,
由四边形为矩形,可知过的中点时,
把矩形分为面积相等的两部分
(注:可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明),
此时.由,,得.
故.
(3)①当点在上时,如图2.
,,
由,得.
.
②当点在上时,如图3.
已知,从而,
由,,得.
解得.
(4)如图4,;如图9,.
(注:判断可分为以下几种情形:当时,点下行,点上行,可知其中存在的时刻,如图8;此后,点继续上行到点时,,而点却在下行到点再沿上行,发现点在上运动时不存在;当时,点均在上,也不存在;由于点比点先到达点并继续沿下行,所以在中存在的时刻,如图5;当时,点均在上,不存在)
18. 解:(1)由题意得 解得b=-2,c=-4
∴此抛物线的解析式为:y=x2-2x-4
2(2)由题意得
解得
∴点B的坐标为(4,4)
将x=m代入 y=x条件得y=m
∴点N的坐标为(m , m)
同理点M的坐标为(m , m2-2m-4 ),点P的坐标为(m , 0 )
∴PN=|m| ,MP=| m2-2m-4 |
∵
∴MN=PN+MP=
(3)作BC⊥MN于点C ,则BC=4-m ,OP=m
==
∵-2<0
∴当时,S有最大值
17.
解:⑴对称轴是直线:,点B的坐标是(3,0).
⑵如图,连接PC,∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0),
∴AB=4.∴
在Rt△POC中,∵OP=PA-OA=2-1=1,
∴
∴b=
当时,
∴
∴
⑶存在.
理由:如图,连接AC、BC.设点M的坐标为.
①当以AC或BC为对角线时,点M在x轴上方,此时CM∥AB,且CM=AB.
由⑵知,AB=4,∴|x|=4,.
∴x=±4.∴点M的坐标为.
②当以AB为对角线时,点M在x轴下方.
过M作MN⊥AB于N,则∠MNB=∠AOC=90°.
∵四边形AMBC是平行四边形,∴AC=MB,且AC∥MB.
∴∠CAO=∠MBN.∴△AOC≌△BNM.∴BN=AO=1,MN=CO=.
∵OB=3,∴0N=3-1=2.
∴点M的坐标为.
综上所述,坐标平面内存在点,使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形.其坐标为.
16. (1)由,则得
,解得
故函数解析式是:。
由知,
点M(1,4)。
(2)由点E在正比例函数的图像上得,
,故,
由解得D点坐标为(),
由图象可知,当二次函数的函数值大于正比例函数时,自变量的取值范围是。
(3)
解得,点D、E坐标为D()、
E(),
则点P坐标为P()由,知点P在第一象限。
由点B,C,M(1,4),得
,
则
整理,配方得
。
故当时,四边形PCMB的面积值最小,最小值是。
15. 解:(1)将y=0代入y=,得到x=3,∴点B的坐标为(3,0);
将x=0,代入y=,得到y=4, ∴点C的坐标为(0,4)
在Rt△OBC中,∵OC=4,OB=3,∴BC=5。
又A(-2,0),∴AB=5,∴AB=BC,∴△ABC是等腰三角形。
(2)∵AB=BC=5,故点M、N同时开始运动,同时停止运动。
过点N作ND⊥x轴于D ,
则ND=NB●sin∠OBC=,
当0<t<2时(如图甲)
OM=2-t,
∴s==
=
当2<t≤5时(如图乙),OM=t-2,
∴s==
=
(注:若将t的取值范围分别写为0≤t≤2和2≤t≤5,不扣分)
存在s=4的情形。
当s=4时,=4
解得t1=1+, t2=1-秒。
当MN⊥x轴时,△MON为直角三角形,
MB=NB●COS∠MBN=,又MB=5-t.
∴=5-t, ∴t=
当点M,N分别运动到点B,C时,△MON为直角三角形,t=5.
故△MON为直角三角形时,t=秒或t=5秒
14. .解:(1) ∵四边形为正方形 ∴
∵、、在同一条直线上 ∴ ∴直线与⊙相切;
(2)直线与⊙相切分两种情况:
①如图1, 设点在第二象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去).
由∽ 得
∴ ∴,故直线的函数关系式为;
②如图2, 设点在第四象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去).
由∽ 得
∴ ∴,故直线的函数关系式为.
(3)设,则,由得
∴
∵
∴.
13. (1)设抛物线解析式为,把代入得.
,
顶点 (2分)
(2)假设满足条件的点存在,依题意设,
由求得直线的解析式为,
它与轴的夹角为,设的中垂线交于,则.
则,点到的距离为.
又. (4分)
.
平方并整理得:
.
存在满足条件的点,的坐标为. (6分)
(3)由上求得.
①若抛物线向上平移,可设解析式为.
当时,.
当时,.
或.
. (8分)
②若抛物线向下移,可设解析式为.
由,
有.
,.
向上最多可平移72个单位长,向下最多可平移个单位长. (10分
12. 解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-3……1分
将A(-1,0)代入:0= a(-1-1)2-3,解得a=……2分
所以,抛物线的解析式为y=(x-1)2-3,即y=x2-x-……3分
(2)是定值,=1……4分
∵AB为直径,∴∠AEB=90°,∵PM⊥AE,∴PM∥BE,∴△APM∽△ABE,所以①
同理:②……5分
①+②:……6分
(3)∵直线EC为抛物线对称轴,∴EC垂直平分AB,
∴EA=EB,
∵∠AEB=90°,
∴△AEB为等腰直角三角形,
∴∠EAB=∠EBA=45°……7分
如图,过点P作PH⊥BE与H,
由已知及作法可知,四边形PHEM是矩形.
∴PH=ME且PH∥ME.
在△APM和△PBH中,∵∠AMP=∠PBH=90°,∠EAB=∠BPH=45°,
∴PH=BH,且△APM∽△PBH,
∴,∴①……8分
在△MEP和△EGF中,∵PE⊥FG,∴∠FGE+∠SEG=90°,
∵∠MEP+∠SEG=90°,∴∠FGE=∠MEP,
∵∠MPE=∠FEG=90°,∴△MEP∽△EGF,
∴②
由①、②知:……9分
(本题若按分类证明,只要合理,可给满分)
11. 解:(1)900;…………………………………………………………1分
(2)图中点B的实际意义是:当慢车行驶4h时,慢车和快车相遇. ……………2分
(3)由图像可知,慢车12h行驶的路程为900km,所以慢车的速度为=75(km/h),3分
当慢车行驶4h时,慢车和快车相遇,两车行驶的路程之和为900km,所以慢车和快车行驶的速度之和为=225(km/h),所以快车的速度为150 km/h.…………………………4分
(4)根据题意,快车行驶900km到达乙地,所以快车行驶=6(h)到达乙地,此时两车之间的距离为6×75=450(km),
所以点C的坐标为(6,450).
设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(4,0),(6,450)代入得
0=4k+b k=225,
解得
450=6k+b b=-900.
所以,线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=225x-900. ………………6分
自变量x的取值范围是4≤x≤6. …………………………………………7分
(5)慢车与第一辆快车相遇30分钟后与第二辆快车相遇,此时,慢车的行驶时间是4.5h,把x=4.5代入y=225x-900,得y=112.5.此时,慢车和第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km,所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75(h),即第二辆快车比第一辆快车晚出发0.75h. ……………………………………………………………10分
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