46.(08四川凉山)25．(9分)如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点．的交点为，且，．

(1)求证：．(2)求的直径的长．

(3)若，以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式．

(08四川凉山25题解析)25．(9分)

(1)连接

是圆直径，，即

，．················································································· 1分

．在中，．··························· 2分

(2)是斜边的中点，，，

又由(1)知，．

又，与相似······················································ 3分

　············································································ 4分

又，

，，······································ 5分

设，，，

直径．······························································································· 6分

(3)斜边上中线，

在中，，······························ 7分

设直线的函数表达式为，

根据题意得，

　 解得

直线的函数解析式为(其他方法参照评分)································· 9分

25．如图10，已知抛物线经过点(1，-5)和(-2，4)

(1)求这条抛物线的解析式．

(2)设此抛物线与直线相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长(用含的代数式表示)．

(3)在条件(2)的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

43.(08四川广安)(本题答案暂缺)七、解答题(本大题满分12分)

28. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B在第一象限内，且=3，sin∠OAB=.

(1)若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；

(2)在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若将点O、点A分别变换为点Q( -2k ,0)、点R(5k，0)(k>1的常数)，设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为，△QNR的面积，求∶的值.

42.(08四川成都)(本题答案暂缺)四、(共12分)

39.(08山西省卷)(本题答案暂缺)26．(本题14分)如图，已知直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为(8，0)，又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒()。

(1)求直线的解析式。

(2)设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。

(3)试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

40(08山西太原)29．(本小题满分12分)

如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交轴于点和点，点是直线上的一个动点．

(1)求点的坐标．

(2)当为等腰三角形时，求点的坐标．

(3)在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出的值；如果不存在，请说明理由．

(08山西太原29题解析)29．解：(1)在中，当时，，

，点的坐标为．·········································································· 1分

在中，当时，，点的坐标为(4，0)．·· 2分

由题意，得解得

点的坐标为．····················································································· 3分

(2)当为等腰三角形时，有以下三种情况，如图(1)．设动点的坐标为．

由(1)，得，．

①当时，过点作轴，垂足为点，则．

．

，点的坐标为．················································· 4分

②当时，过点作轴，垂足为点，则．

，，

．

解，得(舍去)．此时，．

点的坐标为．·············································································· 6分

③当，或时，同理可得．····················· 9分

由此可得点的坐标分别为．

评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得1分，2个点的坐标得3分，3个点的坐标得5分，4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关．

(3)存在．以点为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图(2)．

①当四边形为平行四边形时，．··········································· 10分

②当四边形为平行四边形时，．············································ 11分

③当四边形为平行四边形时，．········································ 12分

41(08陕西省卷)25、(本题满分12分)

某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。

如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计)，点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处。

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：供水站建在乙村(线段CD某处)，甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村(线段AB某处)，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

(08陕西省卷25题解析)25、解：方案一：由题意可得：MB⊥OB，

　　　　　　　 ∴点M到甲村的最短距离为MB。…………………(1分)

∵点M到乙村的最短距离为MD，

∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小，

即最小值为MB+MD=3+ (km)…………………(3分)

　　　 方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M′，则MM′＝2ME，

连接AM′交OE于点P，PE∥AM，PE＝。

∵AM＝2BM＝6，∴PE＝3　　　　　 …………………(4分)

在Rt△DME中，∵DE＝DM·sin60°＝×＝3，ME＝＝×，

∴PE＝DE，∴ P点与E点重合，即AM′过D点。…………(6分)

在线段CD上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′，

则P′M＝P′M′。∵A P′+P′M′＞AM′，

∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小，

即最小值为AD+DM＝AM′＝………(7分)

方案三：作点M关于射线OF的对称点M′，作M′N⊥OE于N点，交OF于点G，

交AM于点H，连接GM，则GM＝GM′

∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N＝GM+GN

在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6，

∴MH＝3，∴NE＝MH＝3

∵DE＝3，∴N、D两点重合，即M′N过D点。

在Rt△M′DM中，DM＝，∴M′D＝…………(10分)

在线段AB上任取一点G′，过G′作G′N′⊥OE于N′点，

连接G′M′，G′M，

显然G′M+G′N′＝G′M′+G′N′＞M′D

∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD

线路铺设的长度之和最小，即最小值为

GM+GD＝M′D＝。 …(11分)

综上，∵3+＜，

∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短。　 …………(12分)

32.(08山东青岛)24．(本小题满分12分)

已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为()，解答下列问题：(1)当为何值时，？

(2)设的面积为()，求与之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；

(4)如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

(08山东青岛24题解析)24．(本小题满分12分)

解：(1)在Rt△ABC中，，

由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，

若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，

∴，

∴，

∴．　　　　 ··································································································· 3′

(2)过点P作PH⊥AC于H．

∵△APH ∽△ABC，

∴，

∴，

∴，

∴．　　 　 ··········································· 6′

(3)若PQ把△ABC周长平分，

则AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴，　　

解得：．

若PQ把△ABC面积平分，

则，　 即－+3t=3．

∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．················ 9′

(4)过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，

若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．

∵PM⊥AC于M，

∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

∴，　 ∴，

∴，

∴，

∴，

解得：．

∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．　　 　

此时，　，

在Rt△PMC中，，

∴菱形PQP ′ C边长为．　　 12′

33(08山东泰安)26．(本小题满分10分)

在等边中，点为上一点，连结，直线与分别相交于点，且．

(1)如图1，写出图中所有与相似的三角形，并选择其中一对给予证明；

(2)若直线向右平移到图2、图3的位置时(其它条件不变)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；

(3)探究：如图1，当满足什么条件时(其它条件不变)，？请写出探究结果，并说明理由．

(说明：结论中不得含有未标识的字母)

(08山东泰安26题解析)26．(本小题满分10分)

(1)与······························································ 2分

以为例，证明如下：

····································································································· 4分

(2)均成立，均为，········································· 6分

(3)平分时，．····································································· 7分

证明：平分

··············································································································· 8分

又

············································································································· 10分

注：所有其它解法均酌情赋分．

34(08山东威海)24.(11分) 如图，点A(m，m+1)，B(m+3，m－1)都在反比例函数的图象上．　　

(1)求m，k的值；　

(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，

以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，　

试求直线MN的函数表达式．　 　

(3)选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标

为(5，0)，点Q的坐标为(0，3)，把线段PQ向右平

移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P₁Q₁，

则点P₁的坐标为　　　　 ，点Q₁的坐标为　　　 ．

(08山东威海24题解析)24．(本小题满分11分)　

解：(1)由题意可知，．

解，得 m＝3．　　　　 ………………………………3分

∴ A(3，4)，B(6，2)；

∴ k＝4×3=12．　　 ……………………………4分

(2)存在两种情况，如图：　

①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴

上时，设M₁点坐标为(x₁，0)，N₁点坐标为(0，y₁)．

∵ 四边形AN₁M₁B为平行四边形，

∴ 线段N₁M₁可看作由线段AB向左平移3个单位，

再向下平移2个单位得到的(也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的)．

由(1)知A点坐标为(3，4)，B点坐标为(6，2)，

∴ N₁点坐标为(0，4－2)，即N₁(0，2)；　　　 ………………………………5分

M₁点坐标为(6－3，0)，即M₁(3，0)．　　　 ………………………………6分

设直线M₁N₁的函数表达式为，把x＝3，y＝0代入，解得．

∴ 直线M₁N₁的函数表达式为． ……………………………………8分

②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M₂点坐标为(x₂，0)，N₂点坐标为(0，y₂)．　

∵ AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB＝N₁M₁，AB＝M₂N₂，

∴ N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁＝M₂N₂．　　

∴ 线段M₂N₂与线段N₁M₁关于原点O成中心对称．　　　

∴ M₂点坐标为(-3，0)，N₂点坐标为(0，-2)．　　 ………………………9分

设直线M₂N₂的函数表达式为，把x＝-3，y＝0代入，解得，

∴ 直线M₂N₂的函数表达式为． 　　

所以，直线MN的函数表达式为或．　 ………………11分

(3)选做题：(9，2)，(4，5)．　 ………………………………………………2分

35(08山东威海)25．(12分) 　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

(1)求梯形ABCD的面积；　

(2)求四边形MEFN面积的最大值．

(3)试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，

求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．　

(08山东威海25题解析)25．(本小题满分12分)

解：(1)分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ……………1分

∵ AB∥CD，　

∴ DG＝CH，DG∥CH．　

∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．　

∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，

∴ △AGD≌△BHC(HL)．　

∴ AG＝BH＝＝3．　 ………2分

∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，　

∴ DG＝4． 　　　　　　　　　

∴ ．　　　 ………………………………………………3分

(2)∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，　

∴ ME＝NF，ME∥NF．　

∴ 四边形MEFN为矩形．　

∵ AB∥CD，AD＝BC，　　

∴ ∠A＝∠B．　

∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，　　

∴ △MEA≌△NFB(AAS)．

∴ AE＝BF．　　　　 ……………………4分　

设AE＝x，则EF＝7－2x．　 ……………5分　

∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，　　

∴ △MEA∽△DGA．

∴ ．

∴ ME＝．　　　　 …………………………………………………………6分

∴ ．　 ……………………8分

当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．……………9分

(3)能．　　 ……………………………………………………………………10分

由(2)可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝．　

若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．　

　　 即 7－2x．解，得 ．　 ……………………………………………11分

∴ EF＝＜4．　

∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为． ………12分

36(08山东潍坊)(本题答案暂缺)24．(本题满分12分)

如图，圆切轴于原点，过定点作圆切线交圆于点．已知，抛物线经过两点．

(1)求圆的半径；

(2)若抛物线经过点，求其解析式；

(3)投抛物线交轴于点，若三角形为直角三角形，求点的坐标．

37(08山东烟台)25、(本题满分14分)

如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P是抛物线上的一个动点(P不与点A、B重合)，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.

38(08山东枣庄)25．(本题满分10分)

把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁(如图乙)．这时AB与CD₁相交于点，与D₁E₁相交于点F．

(1)求的度数；

(2)求线段AD₁的长；

(3)若把三角形D₁CE₁绕着点顺时针再旋转30°得△D₂CE₂，这时点B在△D₂CE₂的内部、外部、还是边上？说明理由．

(08山东枣庄25题解析)25．(本题满分10分)

　　 解：(1)如图所示，，，

∴．　………………………………1分

又，

∴．　 ………3分

(2)，∴∠D₁FO=60°．

，∴．　 ··································································· 4分

　又，，∴．

，∴．····················································· 5分

又，∴．

在中，．································· 6分

(3)点在内部．　 ··········································································· 7分

理由如下：设(或延长线)交于点P，则．

在中，，　　 …………·································· 9分

，即，∴点在内部．　 ……………10分

30.(08山东临沂)25．(本小题满分11分)

已知∠MAN，AC平分∠MAN。

⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC;

⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;

⑶在图3中：

①若∠MAN＝60°，∠ABC+∠ADC＝180°，则AB+AD＝____AC;

②若∠MAN＝α(0°＜α＜180°)，∠ABC+∠ADC＝180°，则AB+AD＝____AC(用含α的三角函数表示)，并给出证明。

(08山东临沂25题解析)25．解:⑴证明:∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，

∴∠CAB＝∠CAD＝60°，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠ACB＝∠ACD＝30°，…………1分

∴AB＝AD＝AC，……………………2分

∴AB+AD＝AC。……………………3分

⑵成立。……………………………r…4分

证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。

∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.

∵∠ABC+∠ADC＝180°,∠ADC+∠CDE＝180°,

∴∠CDE＝∠ABC,………………………………………………………………5分

∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,……………………6分

∴AB+AD＝AF+BF+AE－ED＝AF+AE,由⑴知AF+AE＝AC,

∴AB+AD＝AC……………………………………………………………………7分

证法二：如图，在AN上截取AG＝AC，连接CG.

∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,…………5分

∵∠ABC+∠ADC＝180°,∠ABC+∠CBG＝180°,

∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,……………………………………6分

∴BG＝AD,

∴AB+AD＝AB+BG＝AG＝AC，…………………………………………7分

⑶①;………………………………………………………………………8分

②.………………………………………………………………………9分

证明：由⑵知，ED＝BF,AE＝AF，

在Rt△AFC中，,即,

∴,………………………………………………………………10分

∴AB+AD＝AF+BF+AE－ED＝AF+AE＝2，…………11分

31(08山东临沂)26．(本小题满分13分)

如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。

⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;

⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

(08山东临沂26题解析)26．⑴∵抛物线与y轴交于点C(0，3)，

∴设抛物线解析式为………1分

根据题意，得，解得

∴抛物线的解析式为………………………………………2分

⑵存在。…………………………………………………………………………3分

由得，D点坐标为(1，4)，对称轴为x＝1。…………4分

①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，

得，即y＝4－x。…………………………5分

又P点(x,y)在抛物线上，∴，即…………6分

解得，，应舍去。∴。……………………7分∴，即点P坐标为。……………………8分

②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为(2，3)。

∴符合条件的点P坐标为或(2，3)。……………………9分

⑶由B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，根据勾股定理,

得CB＝,CD＝,BD＝,………………………………………………10分

∴,

∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分

设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，

∵CF＝DF＝1,

∴∠CDF＝45°,

由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为(2，3)，

∴DM∥BC,

∴四边形BCDM为直角梯形, ………………12分

由∠BCD＝90°及题意可知，

以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;

以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。

综上所述，符合条件的点M的坐标为(2，3)。……………13分

29.(08山东德州东营菏泽)24．(本题满分12分)

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点(不与A，B重合)，过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．　

(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S；　　　

(2)当x为何值时，⊙O与直线BC相切？　 　　　

(3)在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

(08山东德州东营菏泽23题解析)23．(本题满分12分)

解：(1)∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

　∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x．　 ……………2分

∴ =．(0＜＜4)　 ………………3分

(2)如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

　　 由(1)知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．　

∴ ，

∴ ．　 …………………5分

过M点作MQ⊥BC 于Q，则．　

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ ．

∴ ，．

∴ x＝．　

∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………………7分

(3)随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．　

∴ ． AM＝MB＝2．　

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜≤2时，． 　

∴ 当＝2时， 　…………………………………………8分

② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形， 　

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN＝BM＝4－x．　

∴ ．

又△PEF ∽ △ACB．　

∴ ．

∴ ． ……………………………………………………… 9分

＝．……………………10分

当2＜＜4时，．　　

∴ 当时，满足2＜＜4，．　　 ……………………………11分

综上所述，当时，值最大，最大值是2． ……………………………12分