5．设a＞0，f(x)=ax²+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x₀，f(x₀))处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为

A.［0，］　　　　 B.［0，］　　　　　　　 C.［0，||］　　　　　　 D.［0，||］

4．曲线上的点到直线的最短距离是　　　　　　 (　　 )

　　 　 　　　 　　　　　　 　　 　　0

2．下列求导运算正确的是　 (　　 　)

3．,分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时,，且，则不等式的解集是(　　 ).

A．(－3，0)∪(3，+∞)　　　　　　　　 B．(－3，0)∪(0，3)

C．(－∞，－3)∪(3，+∞)　　　　　　　 D．(－∞，－3)∪(0，3)

1．如果质点A按规律s=2t³运动，则在t=3 s时的瞬时加速度为

A.6　　　　　　 　　　　 B.18　　　　　　　　 C.24　　　　　　 　　　　 D.32

6．已知，函数。设，记曲线在点处的切线为。

(1)求的方程；

(2)设与轴交点为。

证明：①；

②若，则

[能力提升]

5．已知抛物线，过其上一点引抛物线的切线，使与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积最小，求切线的方程.

例6．已知抛物线或，如果直线同时是和的切线，则称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。

(1)取什么值时和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

(2)若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。

［剖析］分别求曲线和的切线方程，由于和有且仅有一条公切线，从而列出方程组，求解的取值，进行得到公切线方程；而对于证明相应的两条公切线段互相平分的问题，只需要证明这两条切线的中点是同一点即可.

［解］(1)函数的导数是，曲线在点处的切线方程为：，即　　　 ①

函数的导数是，曲线在点处的切线方程为：

，即　　　 ②

如果直线是过点和的公切线，则①②都是直线的方程，从而有

消去得方程，由，得.

此时，即点和重合.故当时，和有且仅有一条公切线，此公切线方程为.

(2)由(1)知，当时，和有两条公切线.设其中的一条公切线在和上的切点分别为，

则

即公切线段的中点是

同理可证，另一条公切线段的中点也是，所以公切线段和相互平分。

［警示］可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数在处的导数表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程，可按如下方式求得：

第一，求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；

第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程；

如果曲线在点的切线平行于轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为.

［变式训练］

4．已知曲线C：y=x³－3x²+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点(x₀，y₀)(x₀≠0)，求直线l的方程及切点坐标.

例5．在曲线y=x³－x上有两个点O(0，0)、A(2，6)，求弧OA上点P的坐标，使△AOP的面积最大.

［剖析］本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义.由于|OA|是定值,所以若将点P的位置转化到与曲线y=x³－x相切且与OA平行的位置，此时点P到|OA|的距离最大;也可设点，构造目标函数求最值.

［解］解法一:因为k_OA=3，所以过弧OA上点P的直线的斜率k′=k_OA=3.　　　　　　　　

所以k′=y′=3x²－1=3.所以3x²=4. 所以x=或x=－ (舍去).　　

　　　 所以x=,y=，即P(，).　　

解法二:设P(a,a³－a),∵O(0,0)、A(2,6),∴直线OA的方程为3x－y=0.

点P到它的距离为d==|a³－4a|,

∵0＜a＜2,∴4a＞a³.∴d= (4a－a³).

∵(d)′= (4－3a²),令4－3a²=0,得a=或a=－.

∵0＜a＜2,∴x=a=时取最大值，此时y=()³－=.

∴P(，).

［警示］利用导数求曲线的切线方程，几乎是新课程高考每年必考的内容，既有可能出现在选择、填空题中，也有可能出现在解答题中. 在这类问题中，导数所担负的任务是求出其切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法与解析几何的基本思想。

［变式训练］

3．设，且，求实数的值。

例4．已知曲线.

(1)　　 求曲线在点处的切线方程；

(2)求曲线过点的切线方程。

［剖析］“该曲线过点的切线”与“该曲线在点处的切线方程”是有区别的：过点的切线中，点不一定是切点；在点处的切线中，点是切点。

［解］(1)所求切线的斜率为，故所求的曲线的切线方程为即

(2)设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，切线方程为，因为点在切线上，所以，解得或，故所求的切线的方程为：或

［警示］(1)求函数图象上点处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为求曲线的切线要注意“过点的切线”与“点处的切线”的差异.过点的切线中，点不一定是切点，点也不一定在已知曲线上；点处的切线，点是切点。

(2)要准确理解曲线切线的概念，①如直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，一方面，直线与曲线只有一个公共点　　 直线是曲线的切线，例如：抛物线的对称轴与其抛物线有且仅有一个交点，但对称轴不是抛物线的切线；另一方面，直线是曲线的切线　　 直线与曲线有且仅有一个公共点，例如本题中曲线与其切线有两个公共点，又如曲线与其切线有无数个公共点!②曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线虽然“穿过”曲线，但它却是曲线在点(0,0)处的切线。

(3)要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点两公共点无限接近两公共点重合(切点)；②割线切线。

［变式训练］

2．求下列函数的导数

(1)；(2)；(3)；　　　　　　　 (4)；　　　　　 (5)；　　　　　 (6)

例3．已知函数在处的导数值与函数值互为相反数，求的值。

［剖析］可先求出函数的导函数，然后根据条件建立关于的方程进行求解.

［解］由于 ，所以，又，

依题意得，即，，得。

［警示］ 导数的运算是导数应用的前提，因步应熟练掌握导数的运算法则以及常见函数的求导公式，近几年的高考试题中，对于等函数导数的考查较为频繁，因此应掌握与这两个函数有关的导数运算.

［变式训练］

1．(1)已知函数在处可导，且，求；

(2)设求的值。

例2．求下列函数的导数

(1)　　 (2)　　 (3)

(4)　　　　 (5)　　　 (6)

［剖析］本题不要考查导数的有关计算，助借于导数的计算公式及常见的初等函数的导数，可以容易求得。

［解］(1) 解法一：，

解法二：

(2)

(3) ，

(4)

(5) .

(6)

［警示］复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求层.每次求导都针对最外层，直到求到最里层为止.所谓最里层是指已经可以直接引用基本导数公式进行求导的.

(2)求导时，先化简再求导是运算的基本方法，这样可以减少计算量.一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可否化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式.

［变式训练］