6.(2008·潍坊模拟)一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O的一个定点,点A是圆周上一动点,把
纸片折叠使点A与点Q重合,然后抹平纸片,折痕CD与OA交于点P,当点A运动时,点P的轨
迹为 ( )
A.椭圆? B.双曲线 ?C.抛物线? D.圆
答案?A?
5.(2008·成都质检)F1、F2是椭圆的两个焦点,M是椭圆上任一点,从任一焦点向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线,垂足为P,则P点的轨迹为 ( )
?A.圆 ?B.椭圆? C.双曲线 ?D.抛物线
答案?A?
4.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是 ( )
?A.直线 B.椭圆? C.圆? D.双曲线
答案?A?
3.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动,=2,则点C的轨迹是( )
?A.线段 ?B.圆? C.椭圆 ?D.双曲线
答案?C?
2.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 ( )
?A. ?B.4 C.8 ?D.9
答案?B?
1.方程x2+y2=1 (xy<0)的曲线形状是 ( )
答案?C
3.(2009·宜昌模拟)设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥,当点P
在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.
解 设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),
由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
∴即
∵⊥,=(x0,-y0), =(1,-y0),
∴(x0,-y0)·(1,-y0)=0,∴x0+=0.
∴-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,根据两圆外切的充要条件,得
|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|.
因为|MA|=|MB|,
所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.
这表明动点M到两定点C2,C1的距离之差是常数2.
根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大,到C1的距离小),这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为(x,y),其轨迹方程为x2-=1 (x≤-1).
1.已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||||+ ·=0,求动点P(x,y)的轨迹方程.
解 由题意:=(4,0),=(x+2,y),
?=(x-2,y),
∵||||+·=0,
∴·+(x-2)·4+y·0=0,
两边平方,化简得y2=-8x.
5.已知直线l的方程是f(x,y)=0,点M(x0,y0)不在l上,则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲线是 ( )
?A.直线l B.与l垂直的一条直线
?C.与l平行的一条直线 D.与l平行的两条直线
答案?C?
例1 如图所示,过点P(2,4)作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A,l2交y轴于B,求线段AB中点M的轨迹方程.
解 设点M的坐标为(x,y),
∵M是线段AB的中点,
∴A点的坐标为(2x,0),B点的坐标为(0,2y).
∴=(2x-2,-4),=(-2,2y-4).
由已知·=0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0,
即x+2y-5=0.
∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.
例2(5分)在△ABC中,A为动点,B、C为定点,B,C且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是 ( )
?A.=1 (y≠0) B.=1 (x≠0)
?C.=1(y≠0)的左支 ? D.=1(y≠0)的右支
答案?D?
例3 如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,
且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解 设AB的中点为R,坐标为(x1,y1),Q点坐标为(x,y),
则在Rt△ABP中,
|AR|=|PR|,
又因为R是弦AB的中点,依垂径定理有
?Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-().
又|AR|=|PR|=,
所以有(x1-4)2+=36-().
即-4x1-10=0.
因为R为PQ的中点,
所以x1=,y1=.
代入方程-4x1-10=0,得
·-10=0.
整理得x2+y2=56.
这就是Q点的轨迹方程.
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