6.从原点O向圆:x2+y2-6x+=0作两条切线,切点分别为P、Q,则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为( ) A. ?B.? C.? D.
答案?B?
5.若直线2ax-by+2=0 (a>0,b>0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则的最小值是( )
?A.? B.2 C.4? D.
答案?C?
4.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( )
?A.x2+y2-x-2y-=0 ? B.x2+y2+x-2y+1=0
?C.x2+y2-x-2y+1=0 ? D.x2+y2-x-2y+=0
答案?D?
3.已知A(-2,0),B(0,2),C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最大值是( )
?A.3+ ? B.3- ? C.6 ?D.4
答案?A?
2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是( )
?A.-<a<1? B.a>1或a<-
?C.- ≤a<1? D.a≥1或a≤-
答案?A?
1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为 ( )
?A.2 B.? C.1 ?D.
答案?D?
3.已知点P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.
(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值;
(2)求x-2y的最大值和最小值;
(3)求的最大值和最小值.
解 (1)圆心C(-2,0)到直线3x+4y+12=0的距离为
d=.
∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为
d+r=+1=,最小值为d-r=-1=.
(2)设t=x-2y,
则直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点.
∴≤1.∴--2≤t≤-2,
∴tmax=-2,tmin=-2-.
(3)设k=,
则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点,
∴≤1.∴≤k≤,
∴kmax=,kmin=.
2.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.
(1)证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,
即不论m取什么实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.
两方程联立,解得交点为(3,1),
又有(3-1)2+(1-2)2=5<25,
∴点(3,1)在圆内部,
∴不论m为何实数,直线l与圆恒相交.
(2)解 从(1)的结论和直线l过定点M(3,1)且与过此点的圆C的半径垂直时,l被圆所截的弦长|AB|最短,由垂径定理得
|AB|=2=
此时,kt=-,从而kt=-=2.
∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.
1.(2008·山东文,11)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是 ( )
? A.(x-3)2+(y-)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1
? C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.+(y-1)2=1
答案?B?
5.(2009·宜昌模拟)直线y=ax+b通过第一、三、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=r2 (r>0)的圆心位于( ) A.第一象限 ? B.第二象限
?C.第三象限 D.第四象限
答案?B?
例1 已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为( ) A.x2+y2-2x-3=0? B.x2+y2+4x=0
?C.x2+y2+2x-3=0 ? D.x2+y2-4x=0
答案?D?
例2 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.
解 方法一 将x=3-2y,
代入方程x2+y2+x-6y+m=0,
得5y2-20y+12+m=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件:
y1+y2=4,y1y2=
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1,x2=3-2y2.
∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.
∴m=3,此时Δ>0,圆心坐标为,半径r=.
方法二 如图所示,设弦PQ中点为M,
∵O1M⊥PQ,∴.
∴O1M的方程为:y-3=2,
即:y=2x+4.
由方程组
解得M的坐标为(-1,2).
则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2.
∵OP⊥OQ,∴点O在以PQ为直径的圆上.
∴(0+1)2+(0-2)2=r2,即r2=5,MQ2=r2.
在Rt△O1MQ中,O1Q2=O1M2+MQ2.
∴(3-2)2+5=
∴m=3.∴半径为,圆心为.
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.
由OP⊥OQ知,点O(0,0)在圆上.
∴m-3=0,即m=3.
∴圆的方程可化为
x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0
即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.
∴圆心M,又圆在PQ上.
∴-+2(3-)-3=0,
∴=1,∴m=3.
∴圆心为,半径为.
例3 (12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求y-x的最大值和最小值;
(2)求x2+y2的最大值和最小值.
解 (1)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时,解得b=-2±. 5分
所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-. 6分
(2)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 8分
又圆心到原点的距离为=2,
所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,
x2+y2的最小值是(2-)2=7-4. 12分
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