4.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+有两个不同的交点，则k的取值范围是　　　　 (　　 )　

?A.　　　　　　　　 ?B.?　　　　　　 C.?　　　　　　 D.

答案?A?　

3.两圆x²+y²-6x+16y-48=0与x²+y²+4x-8y-44=0的公切线条数为　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.1　　　　　　　　　 　　 ?B.2　　　　　　　　　　　 C.3?　　　　　　　　　 D.4　

答案?B?　

2.(2009·岳阳模拟)若直线4x-3y-2=0与圆x²+y²-2ax+4y+a²-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围

是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.-3＜a＜7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?　 B.-6＜a＜4　

?C.-7＜a＜3?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.-21＜a＜19　

答案?B?　

1.若直线ax+by=1与圆x²+y²=1相交，则P(a，b)　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.在圆上?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.在圆外　

?C.在圆内?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.以上都有可能　

答案?B?　

12.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.　

(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;　

(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x²+y²=r²相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.　

解　 (1)依题意,可设动圆C的方程为　

(x-a)²+(y-b)²=25,　

其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.　

又∵动圆过点(-5,0),　

故(-5-a)²+(0-b)²=25.

解方程组　

可得或

故所求圆C的方程为　

(x+10)²+y²=25或(x+5)²+(y-5)²=25.　

(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=.　

当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x²+y²=r²相外切的圆；　

当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x²+y²=r²相外切；　

当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x²+y²=r²相外切.

§7.6 直线、圆的位置关系

基础自测

11.已知圆x²+y²=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.　

(1)求线段AP中点的轨迹方程;　

(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.　

解 (1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).　

∵P点在圆x²+y²=4上,∴(2x-2)²+(2y)²=4.　

故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)²+y²=1.　

(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,　

|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON,则ON⊥PQ,　

所以|OP|²=|ON|²+|PN|²=|ON|²+|BN|²,　

所以x²+y²+(x-1)²+(y-1)²=4.　

故线段PQ中点的轨迹方程为x²+y²-x-y-1=0.

10.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.　

解　 将圆方程化为(x-1)²+(y-1)²=1,其圆心为C(1，1)，半径r=1,如图，由于四边形PACB的面积等于?Rt△PAC面积的2倍，所以S_PACB=2××|PA|×r=.　

∴要使四边形PACB面积最小,只需|PC|最小.　

当点P恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时,　

|PC|最小,由点到直线的距离公式,得　

|PC|_min==3,　

故四边形PACB面积的最小值为2.

9.根据下列条件求圆的方程：　

(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；　

(2)已知一圆过P(4,-2)、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.　

解 (1)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：　

,即x+y-1=0.　

解方程组得圆心C的坐标为(4，-3).　

又圆的半径r=|OC|=5,　

所以所求圆的方程为(x-4)²+(y+3)²=25.　

(2)设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0　 　　　　　　　　　　　　　　　 　①　

将P、Q点的坐标分别代入①得：　

令x=0，由①得y²+Ey+F=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ④　

由已知|y₁-y₂|=4，其中y₁、y₂是方程④的两根，　

所以(y₁-y₂)²=(y₁+y₂)²-4y₁y₂=E²-4F=48　 　　　　　　　　　　　　　　 　　 ⑤　

解②、③、⑤组成的方程组得　

D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，　

故所求圆的方程为　

x²+y²-2x-12=0或x²+y²-10x-8y+4=0.

8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为　　　　　 .　

答案　 (x+2)²+　

7.(2008·四川理，14)已知直线l：x-y+4=0与圆C：(x-1)²+(y-1)²=2，则C上各点到l距离的最小值为　　　　 .　

答案