15.(人教A版必修2第144页练习第3题)

某圆拱桥的水面跨度20，拱高4.现有一船宽10，水面以上高3，这条船能否从桥下通过？

变式1：某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上部分高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低

　　　　 时，船才能通过桥洞.(结果精确到0.01)

解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为.

∵圆经过点(10，0)，(0，4)，∴，解得.

∴圆的方程是.　 令，得.

故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低，船才能通过桥洞.

变式2：据气象台预报：在城正东方300的海面处有一台风中心，正以每小时40的速度向西北方向移动，在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约

　　　 ，台风将影响城，持续时间约为　　　 .(结果精确到0.1)

解：以为原点，正东方向所在直线为轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是，受台风影响的区域边界的曲线方程是.

依题意有，解得.

∴.

∴从现在起经过约2.0，台风将影响城，持续时间约为6.6.

变式3：有一种商品，、两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费地是地的3倍.已知、两地的距离是10，顾客购买这种商品选择地或地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.

解：以的中点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则，.设是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为元，则，∴，化简得.∴、两地售货区域的分界线是以为圆心，为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去地购货，在曲线外的居民选择去地购货，在曲线上的居民去、两地购货均可.

14.(人教A版必修2第133页例5)

已知线段的端点的坐标是(4，3)，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.

变式1：已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是(　 )

A.　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　 　　D.

解：设.∵，∴，

∴，∴.∵点在圆上运动，∴，∴，即，∴点的轨迹方程是，故选(C).

变式2：已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是　　　　　 .

解：设.∵是的平分线，∴， ∴.由变式1可得点的轨迹方程是.

变式3：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.

解：设，的中点为.∵是平行四边形，∴是的中点，∴点的坐标为，且.∵直线经过定点，∴，∴，化简得.∴点的轨迹方程是.

13.(人教A版必修2第135页B组第3题)

已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.

变式1：(2006年四川卷)已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于(　 )

A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　 D.

解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为，故选(B).

变式2：(2004年全国卷)由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=60⁰，则动点的轨迹方程是　　　　　 .

解：设.∵=60⁰，∴=30⁰.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.

变式3：(2003年北京春季卷)设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.

解：设动点的坐标为.由，得，

化简得.

当时，化简得，整理得；

当时，化简得.

所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；

当时，点的轨迹是轴.

12.(人教A版必修2 第145页B组第2题)

已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.

变式1：(2006年湖南卷)圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(　 )

A.36　　　　　　　　 B.18　　　　　　　　 C.　　　　　　 D.

解：∵圆的圆心为(2，2)，半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是，故选(C).

变式2：已知，，点在圆上运动，则的最小值是　　　　 .

解：设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.

变式3：已知点在圆上运动.

(1)求的最大值与最小值；(2)求的最大值与最小值.

解：(1)设，则表示点与点(2，1)连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.

(2)设，则表示直线在轴上的截距. 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.

11.(北师大版必修2第101页例8)

判断圆与圆的位置关系，并画出图形.

变式1：(1995年全国卷)圆和圆的位置关系是(　 )

A.相离　　　　　　　 B.外切　　　　　　　 C.相交　　　　　　 D.内切

解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴两圆相交，故选(C).

变式2：若圆与圆相切，则实数的取值集合是　　　　　 .

解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴实数的取值集合是.

变式3：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.

解：设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.∵两圆外切于点，∴，∴，∴，∴所求圆的方程为.

10.(北师大版必修2第117页A组 第14题)

已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.

变式1：(2006年安徽卷)直线与圆没有公共点，则的取值范围是(　 )

A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.

解：依题意有，解得.∵，∴，故选(A).

变式2：(2006年湖北卷)若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是　　　　　 .

解：依题意有，解得，∴的取值范围是.

变式3：若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.

9.(人教A版必修2 第144页 A组 第5题)

求直线被圆截得的弦的长.

变式1：(1999年全国卷)直线截圆得的劣弧所对的圆心角为(　 )

A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为，故选(C).

变式2：(2006年天津卷)设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则　　　　 .

解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得，解得.

变式3：已知圆，直线.

(1)求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；

(2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程.

解：(1)∵直线恒过定点，且，∴点在圆内，∴直线与圆恒交于两点.

(2)由平面几何性质可知，当过圆内的定点的直线垂直于时，直线被圆截得的弦长最小，此时，∴所求直线的方程为即.

8.(人教A版必修2第144页A组 3)

求以为圆心，并且与直线相切的圆的方程.

变式1：(2006年重庆卷)过坐标原点且与圆相切的直线的方程为(　 )

A.或　　　　　　　　　　 B.或

C.或　　　　　　　　　 D.或

解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为(2，-1)，半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或，故选(A).

变式2：(2006年湖北卷)已知直线与圆相切，则的值为　　　　 .

解：∵圆的圆心为(1，0)，半径为1，∴，解得或.

变式3：求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.

解：设所求圆的方程为，则，

解得或，∴圆的方程为或.

7.(北师大版必修2 第118页B组第2题)

光线自点射到点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程.

变式1：一条光线从点射出，经轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的方程是　　　　 .

解：依题意得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为，即.由反射光线与圆相切得，解得或，∴反射光线所在直线的方程是或，即或.

变式2：(2003年全国卷)已知长方形的四个顶点、、和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和(入射角等于反射角).设的坐标为.若，则的取值范围是(　 )

A.　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　 D.

解：用特例法，取，则、、、分别为、、、的中点，此时.依题意，包含的选项(A)(B)(D)应排除，故选(C).

变式3：已知点，在直线上求一点P，使最小.

解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.

设，则，解得，∴，∴直线的方程为.由，解得，∴.

6.(人教A版必修2 第110页A组第3题)

已知，，求线段的垂直平分线的方程.

变式1：已知关于直线的对称点为，则直线的方程是(　 )

A.　 B.　　 C.　 D.

解：依题意得，直线是线段的垂直平分线.∵，∴，∵的中点为(1，1)，∴直线的方程是即，故选(B).

变式2：已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是　　　　　 .

解：依题意得，两圆的圆心与关于直线对称，故直线是线段的垂直平分线，由变式1可得直线的方程为.

变式3：求点关于直线的对称点的坐标.

解：设.由，且的中点在直线上，得，解得，∴.