5、最值:,
4、单调性:增函数
3、奇偶性:奇函数(用定义证明,证明过程略)
2、值域:
1、定义域;
3.反正弦函数
习惯上,表示自变量,表示因变量,将反正弦函数记作:
,,
2.反正弦函数的值
我们来看具体的例子:
(1)反正弦函数值表示范围内的一个角,并且,这个角就是,即=。
(2)反正弦函数值表示范围内的一个角,并且,要想知道这个角可以通过查表或计算器得到结果。而且可以解决前面上课时提出的问题:已知,如何表示?现在我们知道了,可以表示为。
(3)式子表示什么?等于多少呢?我说它等于1,对吗?
因为中,所以无意义!
对于反正弦函数值有如下需要我们注意的:
1) 当时,有意义;
2) 表示的角值;
3) 。
1.引进符号
由于反正弦函数并不是正弦函数的反函数,而是函数,的反函数。用一个记号来表示,引进记号:。
选择表示反正弦函数是有道理的。中sin是正弦,arc是什么意思呢?arc并不是“反”的意思,它是英文单词,解释为“圆弧”,圆弧即圆周上的一段,那么圆弧与圆心角有什么关系呢?,在单位圆中,即,所以此时弧即角,角即弧。我们可以将arc理解作角,所以从字面上理解就是正弦值为所对应的角,因此用记反正弦函数是有道理的。 表示正弦值为所对应的角,等号是“是”的意思,所以, 即:正弦值为所对应的角是,是正弦值为所对应的角。因为反正弦函数是函数,的反函数。所以,自变量的取值范围就是原来函数的值域,因变量的取值范围就是原来函数的定义域,因为是,故而,且。
我们学习过反函数,知道反函数的概念,也明确不是任何一个函数都存在反函数。函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。
那么正弦函数是否存在反函数呢?
(学生作答:答案是否定的。学生说出理由:因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应。正弦函数的自变量与因变量是多对一的。故而不存在反函数。)
正弦函数不存在反函数,那么怎样利用正弦函数,由正弦值确定相应的角值呢?
通过一个例子来说明问题。
关于的式子,可以表示的角有无数多个,为,那么这个结果从何而来?
首先你能写出的满足条件的是哪个?
,因为,由 ,还可以写出哪些满足条件的,是,为什么?(因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的三角比值相等)
还有其他满足条件的吗?
(有!,因为根据诱导公式,所以。)
通过这个例子,我们说用正弦值表示相应角值时,只要能表示出一个相应的角值就可以了。根据三角比的定义和诱导公式可以用它将其余的角值表示出。
所以正弦函数不存在反函数。但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数。因变量可以确定自变量,正弦值可以表示相应的角值,并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了。
那么选取怎样的区间,使得存在反函数呢?
依据两个原则:
(1)所取区间在该区间上存在反函数;
(2)能取到的一切函数值。
依据这两个原则选择怎样的区间呢?
学生回答、讨论,不断补充完善。
(先选择,因为它包含了所有的正锐角和零角,但不符合原则(2),补上,因为取到的一切函数值,并且与是连接在一起的,且关于原点对称,应用方便)
所以,选取闭区间,使得在该区间上存在反函数,而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。
我们今天学习反正弦函数。
三角学起源于测量,天文测量、航海测量都是利用三角形之间的边角关系来测量的。即利用比值与角之间的关系测量得到距离、高度和角度。而在测量的实际计算过程中我们经常会遇到两类相反的问题。一类是已知角值求比值,这是我们学习过的,例如,正弦函数它就是一个角值函数,任意角都有唯一确定的正弦值与之对应,即已知某一个角值都可以通过正弦函数,将其正弦值表示出。例如:,其正弦值可以表示为;,其正弦值表示为。
而另一类相反的问题是已知比值求角值,例如:已知角的正弦值为,那么角如何表示呢?
(可以表示为;)
如果已知角的正弦值是,那么角又如何表示呢?
这就产生了怎样用正弦值表示相应角的问题?
我们说正弦函数研究的是角值如何确定正弦值,角值是自变量,正弦值是因变量,而现今要解决的是正弦值如何确定相应的角值?所以,我们要反过来,由正弦函数的因变量去确定自变量。即需要我们考虑正弦函数的反函数。
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com