2、能力目标:通过对一道教材例题的“先探究--再创造”教学,培养学生“归纳与猜想”、“探索与发现”的能力;
[研究目标]
本节课是一节探究课。如何让学生在学习过程中不再是单纯地做题训练,而是通过探究,亲历数学知识产生和发展过程,体验数学发现和创造的历程,使学生的学习过程,真正成为在教师的引导下的探究与再创造过程,是本节研究课的研究目标。
[研究策略]
为了实现研究目标,我采取的策略是:“先探究--再创造”,具体做法如下:
尝试变换--提出问题:利用从特殊到一般循序渐进原则,激活学生的思考热情
观察探究--研究问题,利用独立思考和创造性原则,让学生经历思考过程
推理论证--揭示问题,探索解决数学问题的思维过程,有效提升思考质量
[教学目标]
1、知识目标:会正确解决直线与抛物线的有关问题;
2. (或)的参数方程为(或)(为参数).
数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线)答案
例1. D 例2. B 例3. C 先考虑M+m=2a,然后用验证法.
例4. B提示:e=,P点到左准线的距离为2.5,它到左焦点的距离是2, 2a=10, P点到右焦点的距离是8,∴P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是4 : 1;
例5. B∵,∴.
例6. C提示:椭圆3x2+4y2=48中,a=4, c=2, e=, 设椭圆上的P点到右准线的距离为d,则=, ∴|AP|+2|PF|=|AP|+d, ∴当AP平行于x轴且P点在A点与右准线之间时,|AP|+d为一直线段,距离最小,此时P点纵坐标等于,∴P点坐标是(2, )
例7. (3,4) 或(-3, 4)
例8. (1)或; (2) ;
(3)或; (4) 或.
例9. ≤
例10. 解:设椭圆方程为+=1,(a>b>0)
⑴PQ⊥x轴时,F(-c,0),|FP|=,又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ,∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=与题设e=不符,所以PQ不垂直x轴.
⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2,
所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将PQ方程代入,
得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2=
由|PQ|=得·=①
∵OP⊥OQ,∴·= -1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②
把,代入,解②得k2=,把代入①解得c2=3
∴a2=4,b2=1,则所求椭圆方程为+y2=1.
例11. B 例12. C 例13. D 例14. C 例15. C
例16. A假设,由双曲线定义且,
解得而由勾股定理得
[点评]考查双曲线定义和方程思想.
例17. 例18.
例19.⑴设双曲线方程为(λ≠0),∴ ∴ ,
∴ 双曲线方程为;⑵设双曲线方程为∴ ,解之得k=4,∴ 双曲线方程为
评注:与双曲线共渐近线的双曲线方程为(λ≠0),当λ>0时,焦点在x轴上;当λ<0时,焦点在y轴上。与双曲线共焦点的双曲线为(a2+k>0,b2-k>0)。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高解题质量,特别是充分利用含参数方程的几何意义,可以更准确地理解解析几何的基本思想.
例20. 解题思路分析:
法一:显然AB斜率存在设AB:y-2=k(x-1) 由得:(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0
当△>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2) 则∴ k=1,满足△>0∴ 直线AB:y=x+1
法二:设A(x1,y1),B(x2,y2)则两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
∵ x1≠x2∴ ∴ ∴ AB:y=x+1代入得:△>0
评注:法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。在利用点差法时,必须检验条件△>0是否成立。
(2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和定半径这两定为中心
设A、B、C、D共圆于⊙OM,因AB为弦,故M在AB垂直平分线即CD上;又CD为弦,故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
由得:A(-1,0),B(3,4)又CD方程:y=-x+3
由得:x2+6x-11=0设C(x3,y3),D(x4,y4),CD中点M(x0,y0)
则∴ M(-3,6)
∴ |MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|
∴ A、B、C、D在以CD中点,M(-3,6)为圆心,为半径的圆上
评注:充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰,在复习中必须引起足够重视.
例21. B() 例22. B
例23. B(过P可作抛物线的切线两条,还有一条与x轴平行的直线也满足要求。)
例24. C作为选择题可采用特殊值法,取过焦点,且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p,q,
则p=q=|FK|,
例25. 解析:运用抛物线的准线性质.答案:B 例26. x2=8y 例27. -p2
例28. 例29.
例30. 解:由题意,直线AB不能是水平线, 故可设直线方程为:.
又设,则其坐标满足消去x得
由此得∴
因此,即.
故O必在圆H的圆周上.
又由题意圆心H()是AB的中点,
故由前已证
OH应是圆H的半径,
且.从而当k=0时,圆H的半径最小,亦使圆H的面积最小.此时,直线AB的方程为:x=2p.
注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题,一般方法是联立方程组,消元得一元二次方程,必须讨论二次项系数和判别式△,利用韦达定理寻找两根之和与两根之积之间的关系.求解有时借助图形的几何性质更为简洁.此题设直线方程为x=ky+2p;因为直线过x轴上是点Q(2p,0),通常可以这样设,可避免对直线的斜率是否存在讨论.2.凡涉及弦的中点及中点弦问题,利用平方差法;涉及垂直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算.3.在引入点参数(本题中以AB弦的两个端点的坐标作为主参数)时,应尽量减少参数的个数,以便减少运算量.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=O这个关系对于解决此类问题十分有用.4.列出目标函数,|OH|=P,运用函数思想解决解析几何中的最值问题是解决此类问题的基本思路,也可利用基本不等式a2+b2≥2ab当且仅当a=b时“=”成立求解.
例31. B 例32. D 例33. C 例34. A例35. B
例36. 9x+16y=0 (椭圆内部分 例37. y2=-8x 例38.
例39. 解析:∵S△AFB=2S△AOF,∴当点A位于短轴顶点处面积最大.答案:D
例40. D41. B 42. B 数形结合估算出D
例43. D
例40. C∵由已知得曲线的准线为,∴焦点在轴上且,,
∴,∴
例45.k< 例46. 例47. (0,)
例48. 解:设AB:y=-x+m,代入双曲线方程得11x2+4mx-4(m2+1)=0,
这里△=(4m)2-4×11[-4(m2+1)]=16(2m2+11)>0恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-,∴x0=-,y0=-x0+m=,
若A、B关于直线y=2x对称,则M必在直线y=2x上,
∴=-得m=1,由双曲线的对称性知,直线y=-x与双曲线的交点的A、B必关于直线y=2x对称.
∴存在A、B且求得A(,-),B(-,)
2.双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示)
标准方程 |
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图形 |
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对称轴 |
轴 |
轴 |
轴 |
轴 |
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焦点 |
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顶点 |
原点 |
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准线 |
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离心率 |
1 |
||||
点P(x0,y0) 的焦半径公式 |
用到焦半径自己推导一下即可 如:开口向右的抛物线上的点P(x0,y0)的焦半径等于x0+. |
||||
注: 1.通径为2p,这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.
⑴平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使,称为的线性组合。
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底;
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
这说明如果且,那么.
③当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
数学基础知识与典型例题(第5章平面向量)答案
例1A、例2.C、例3.D、例4.A、例5.A、例6.6、例7.,,、例8.
例9. 解:(用解方程组思想)设D(x,y),则=(x-2,y+1)
∵=(-6,-3),·=0,∴-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0①
∵=(x-3,y-2),∥,∴-6(y-2)=-3(x-3),即x-2y+1=0②
由①②得:,∴D(1,1),=(-1,2)
例10. 解:∵ B、P、M共线∴ 记=s
∴ ①
同理,记∴ =②
∵ ,不共线∴ 由①②得解之得:∴
注:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。
例11.D、 例12.B、 例13.C 、 例14.A 、 例15.、
例16.C、 例17.A 、 例18.C、
加法:①(交换律); ②(结合律)
实数与向量的乘积:①; ②;③
两个向量的数量积: ①·=·; ②(λ)·=·(λ)=λ(·);③(+)·=·+·
注:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,
例如(±)2=
30.[答案] ①戴姆勒--奔驰的三叉形通向不同的方向,代表着征服陆海空的愿望。②图形的图案中间镶嵌着一颗星星,象征着奔驰轿车誉满全球,光辉灿烂。(此外,还可将图表想像成方向盘、轮胎等,只要想像合理即可)
29.[答案] (1)门票一涨再涨,但游客量也不断增加,旅游收入连年上升。
(2)游客量可能因门票价格上涨而减少,但旅游收入将大幅上升。
28.[答案] (1)动画节目收视成为少儿节目主流;动画片来源,日本一家独大。
(2)要努力丰富少儿节目类型,同时提高中国动画片的制作水平。
27.[答案] ①体育成绩取得了巨大的突破。②北京空气质量大大改善(或:北京环保状况得到了很大提升)。③普通百姓热情支持北京奥运会(或:民众积极参与志愿者工作)。
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