17．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l₁、l₂，若l₁交x轴于A点，l₂交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

解：设M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，

连结PM，

∵l₁⊥l₂，∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=，

|AB|=,

∴2.

化简，得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程．

16．(本小题满分12分)已知：圆C：x²+y²－8y+12＝0，直线l：ax+y+2a＝0.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．

解：将圆C的方程x²+y²－8y+12＝0配方得标准方程为x²+(y－4)²＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.

(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.

解得a＝－.

(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

得

解得a＝－7，或a＝－1.

故所求直线方程为7x－y+14＝0或x－y+2＝0.

15．过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为______________．

解析：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，

故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，

|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，

∴∠ABC＝30°，||＝2p，

·＝4p·2p·cos30°＝48，

解得p＝2，

∴抛物线的方程为y²＝4x.

答案：y²＝4x

14．直线l的方程为y＝x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²－4y²＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．

解析：所求椭圆的焦点为F₁(－1,0)，F₂(1,0),2a＝|PF₁|+|PF₂|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点P，使|PF₁|+|PF₂|最小，利用对称性可解．

答案：+＝1

13．(2009·福建高考)过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.

解析：由焦点弦|AB|＝得|AB|＝，

∴2p＝|AB|×，∴p＝2.

答案：2

12．已知点(x₀，y₀)在直线ax+by＝0(a，b为常数)上，则的最小值为________．

解析：可看作点(x₀，y₀)与点(a，b)的距离．而点(x₀，y₀)在直线ax+by＝0上，所以的最小值为点(a，b)到直线ax+by＝0的距离＝.

答案：

11．若双曲线－y²＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________．

解析：由a²+1＝4，∴a＝，

∴e＝＝.

答案：

10．(2009·天津高考)设抛物线y²＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝　　　　　　　　　　　　　　

(　)

A. 　　　　　　　B.　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　D.

解析：如图过A、B作准线l：x=-的垂线，垂足分别为A₁，B₁，

由于F到直线AB的距离为定值．

∴＝.

又∵△B₁BC∽△A₁AC.

∴＝，

由拋物线定义＝＝.

由|BF|＝|BB₁|＝2知x_B＝，y_B＝－，

∴AB：y－0＝(x－)．

把x＝代入上式，求得y_A＝2，x_A＝2，

∴|AF|＝|AA₁|＝.

故＝＝＝.

答案：A

第Ⅱ卷　(非选择题，共100分)

9．(2009·四川高考)已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y₀)在该双曲线上，则·＝　　　　　　　　　　 (　)

A．－12　 　　　　　　　B．－2　　　　　　　 C．0　　　　 　D．4

解析：由渐近线方程y＝x得b＝，

点P(，y₀)代入－＝1中得y₀＝±1.

不妨设P(，1)，∵F₁(2,0)，F₂(－2,0)，

∴·＝(2－，－1)·(－2－，－1)

＝3－4+1＝0.

答案：C

8．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)²+y²＝r²(r>0)相切，则r＝(　)

A.　 　　　　　　B．2　　　　　 　C．3 　　　　　　　D．6

解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x即x±y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝＝.

答案：A