2．不等式|x|+|x－1|<2的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(－∞，－)∪(，+∞) 　　　　　　　B．(－∞，－]

C．(－，)　 　　　　　　　　　　　　　D．[，+∞)

解析：利用绝对值的几何意义来解决．令|x|+|x－1|＝2得x＝－或，结合数轴得x∈(－，)．

答案：C

1．对任意x∈R，|2－x|+|3+x|≥a²－4a恒成立，则a满足的范围是　　　 (　)

A．[－1,5]　　　　 B．(－1,5]

C．(－∞，5] 　　　　　　　D．(－1，+∞)

解析：　因为|2－x|+|3+x|≥5，要使|2－x|+|3+x|≥a²－4a恒成立，即5≥a²－4a，解得－1≤a≤5.

答案：A

21.已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，AB与BC的夹角为θ.

(1)求θ的取值范围；

(2)求函数f(θ)＝sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值.

解：(1)由题意知：

·＝| || |cosθ＝6，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

S＝| || |sin(π－θ)

＝| || |sinθ，　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

②÷①得＝tanθ，即3tanθ＝S.

由≤S≤3，得≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1.

又θ为与的夹角，

∴θ∈[0，π]，∴θ∈[，].

(2)f(θ)＝sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ

＝1+sin2θ+2cos²θ

＝2+sin2θ+cos2θ

＝2+sin(2θ+).

∵θ∈[，]，∴2θ+∈[，].

∴当2θ+＝，θ＝时，f(θ)取最小值3.

20.已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，

　(1)求D点坐标；

(2)若D点在第二象限，用，表；

(3)＝(m,2)，若3+与垂直，求坐标.

解：(1)设D(x，y)，＝(1,2)，＝(x+1，y).

由题得

∴

∴D点坐标为(－2,3)或(2,1).

(2)∵D点在第二象限，∴D(－2,3).

∴＝(－1,3).∵＝(－2,1)，

设＝m+n，

则(－2,1)＝m(1,2)+n(－1,3)，

∴∴

∴＝－+.

(3)∵3+＝3(1,2)+(－2,1)＝(1,7)，

＝(m,2)，

∴(3+)·＝0.

∴m+14＝0.∴m＝－14.

∴＝(－14,2).

19.已知复数z₁＝cosα+isinα，z₂＝cosβ+isinβ，|z₁－z₂|＝.

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.

解：(1)∵z₁－z₂＝(cosα－cosβ)+i(sinα－sinβ)，

|z₁－z₂|＝，

∴＝，

∴cos(α－β)＝＝.

(2)∵－＜β＜0＜α＜，

∴0＜α－β＜π.由(1)得cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝.又sinβ＝－，∴cosβ＝.

∴sinα＝sin[(α－β)+β]

＝sin(α－β)cosβ+cos(α－β)sinβ

＝×+×(－)＝.

18.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).

(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积.

解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，

即a·＝b·，

其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.

∴△ABC为等腰三角形.

(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)+b(a－2)＝0.

∴a+b＝ab.

由余弦定理可知，4＝a²+b²－ab＝(a+b)²－3ab，

即(ab)²－3ab－4＝0.

∴ab＝4(舍去ab＝－1)，

∴S＝absinC＝×4×sin＝.

17.已知|a|＝1，|b|＝，

(1)若a与b的夹角为，求|a+b|；

(2)若a－b与a垂直，求a与b的夹角.

解：(1)|a+b|²＝|a|²+2a·b+|b|²

＝1+2×1××cos+2

＝3+.

∴|a+b|＝.

(2)∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0.

∴|a|²－a·b＝0，∴a·b＝|a|².

设a与b的夹角为θ.

∴cosθ＝＝＝＝.

又0≤θ≤π，∴θ＝.

所以向量a与b的夹角为.

16.a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，

(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；

(2)求c在a方向上的投影.

解：(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，

∴a与b不共线.

又a·b＝－1×4+1×3＝－1，|a|＝，|b|＝5，

∴cos〈a，b〉＝＝＝－.

(2)∵a·c＝－1×5+1×(－2)＝－7，

∴c在a方向上的投影为＝＝－.

15.(2009·四川高考)设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f(a).若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ、μ都有f(λa+μb)＝λf(a)+μf(b)，则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f(a+b)＝f(a)+f(b)；

②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f(a)＝a+e，则f是平面M上的线性变换；

③对a∈V，设f(a)＝－a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f(ka)＝kf(a).

其中的真命题是　　(写出所有真命题的编号).

解析：①当λ＝μ＝1时，f(a+b)＝f(a)+f(b)成立.

②∵f(a)＝a+e，∴f(λa+μb)＝λa+μb+e.

λf(a)+μf(b)＝λ(a+e)+μ(b+e)＝λa+μb+(λ+μ)e.

f(λa+μb)≠λf(a)+μf(b).

∴f不是平面M上的线性变换.

③∵f(a)＝－a，∴f(λa+μb)＝－λa－μb，

λf(a)＝－λa，μf(b)＝－μb.

∴f(λa+μb)＝λf(a)+μf(b).

∴f是平面M上的线性变换.

④∵f是M上的线性变换，∴当λ＝k，μ＝0时，有f(λa+μb)＝f(ka)＝kf(a)+0f(b)＝kf(a).

答案：①③④

14．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n (m、n∈R)，则＝________.

解析：如图所示，建立直角坐标系．

则＝(1,0)，＝(0，)，

∴＝m+n＝(m，n)，

∴tan30°＝＝，∴＝3.

答案：3