2．机械能守恒定律的各种表达形式

①，即；

②；；

用①时，需要规定重力势能的参考平面。用②时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE_增=ΔE_减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。

1．机械能守恒定律的两种表述

(1)在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。用公式表示：E₁=E₂。

其中E₁表示开始时系统的机械能，包括初状态时系统内各个物体的动能与势能，E₂表示最终时系统的机械能，包括末状态时系统内各个物体的动能与势能。

(2)如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。

对机械能守恒定律的理解：

①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

②当研究对象(除地球以外)只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象(除地球以外)由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。

③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。

3．应用动能定理解题的步骤

(1)确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。(原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零)。

(2)对研究对象进行受力分析。(研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力)。

(3)写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。

(4)写出物体的初、末动能。

(5)按照动能定理列式求解。

[例3]如图所示，斜面倾角为α，长为L，AB段光滑，BC段粗糙，且BC=2 AB。质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C端时速度刚好减小到零。求物体和斜面BC段间的动摩擦因数μ。

解：以木块为对象，在下滑全过程中用动能定理：重力做的功为mgLsinα，摩擦力做的功为，支持力不做功。初、末动能均为零。

mgLsinα=0，

从本例可知，由于用动能定理列方程时不牵扯过程中不同阶段的加速度，所以比用牛顿定律和运动学方程解题简洁得多。

[例4]将小球以初速度v₀竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v。

解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：

和，可得，

再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：，解得

从本题可以看出：根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单。有时取全过程简单；有时则取某一阶段简单。原则是尽量使做功的力减少，各个力的功计算方便；或使初、末动能等于零。

[例5]质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m，木块离台的右端L=1.7m。质量为m=0.10M的子弹以v₀=180m/s的速度水平射向木块，并以v=90m/s的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=1.6m，求木块与台面间的动摩擦因数为μ。

解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程：

子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v₁，mv₀=mv+Mv₁　　　 ①

木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v₂，

有：　　　　　　　　 ②

木块离开台面后的平抛阶段，　　 ③

由①、②、③可得μ=0.50

从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理。

从本题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理。在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功。如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉。

[例6]如图所示，小球以大小为v₀的初速度由A端向右运动，到B端时的速度减小为v_B；若以同样大小的初速度由B端向左运动，到A端时的速度减小为v_A。已知小球运动过程中始终未离开该粗糙轨道。比较v_A 、v_B的大小，结论是

A．v_A>v_B　　　 B．v_A=v_B　　　 C．v_A<v_B　　　 D．无法确定

解：小球向右通过凹槽C时的速率比向左通过凹槽C时的速率大，由向心力方程可知，对应的弹力N一定大，滑动摩擦力也大，克服阻力做的功多；又小球向右通过凸起D时的速率比向左通过凸起D时的速率小，由向心力方程可知，对应的弹力N一定大，滑动摩擦力也大，克服阻力做的功多。所以小球向右运动全过程克服阻力做功多，动能损失多，末动能小，选A。

2．木块在木板上相对滑动

一质量为M的木板置于光滑水平面上，另一质量为m的木块以初速度v₀在木板上滑动，木块与木板间存在大小为f的相互摩擦力，且木块在木板上滑动了一段距离s后两物体相对静止。

讨论：此问题中由于木块对木板有摩擦力，所以当木块在木板上滑动的过程中，木板相对地面也滑动了一段距离，设木块和木板最后共同的速度为v′，这个速度我们是可以根据动量守恒定律求出来的。再设木板相对地面滑动距离为s₁，木块相对于地面滑行的距离为s₂。

s₂-s₁=s即木块和木板对地面的位移之差就是相对位移。

木块动能减少，根据动能定理有：mv²/2-mv′²/2=fs₂

木板动能增加，根据动能定理有：Mv′²/2=fs₁

上面两式相减，得：mv²/2-mv′²/2-Mv′²/2=fs₂-fs₁=fs

等式左边就是系统前后动能的差，由于fs大于零，所以系统的动能减少了。

由这个问题我们可以得到这样的结论：由于系统内的摩擦力做功，使系统机械能向内能转化，产生的内能等于系统动能的减少量且等于摩擦力乘以两物体间的相对位移。这一结论在实际应用中常可以使问题得到简化，是一个比较有用的结论。

值得注意的是，摩擦力乘以相对位移并不是一个功，而是一对摩擦力做功的代数和。

1．动能定理的表述

合外力做的功等于物体动能的变化。(这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力)。表达式为：W=ΔE_k=E_k2-E_k1=mv₂²/2-mv₁²/2

其中，W为外力所做的总功，是各个外力所做功的代数和。E_k2表示物体末状态的动能，E_k1表示物体初状态的动能。E_k2与E_k1的差△E_k为物体动能的变化量。

动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述比较好操作。不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。

(1)研究对象是一个物体

动能定理是描述一个物体前后状态量之差与过程量之间关系的一个规律，它的研究对象是一个物体。

(2)合外力引起物体运动状态的变化，外力所做总功引起物体的动能变化。

动能定理反映的是外力的总功与物体动能变化之间的关系，跟合外力与物体运动状态的关系有所不同：如果一个物体受到的合外力不为零，物体的运动速度将发生变化；如果一个物体外力对它做的总功不为零，物体的动能将发生变化。表面看来两者似乎相同，但仔细分析会发现如果一个物体受到的合外力为零，物体运动状态将保持不变；如果外力对一个物体所做总功为零，物体动能保持不变，但物体的运动状态仍可能变化(运动方向可能变化)。

(3)动能定理是一个标量式，应用时不用考虑方向。动能是正标量，无负值。但动能的变化量△E_k可以为负，当外力功的总和W为正功时，末动能大于初动能，△E_k为正；当外力功的总和为负功时，末动能小于初动能，△E_k为负。

动能定理中功W，既为物体所受合外力的功，也为物体所受各个外力功的代数和。而且其外力既可以是有几个外力同时作用在物体上，也可以是先后作用在物体上的几个力。如：一个物体先受到力F₁的作用，F₁对物体做功W₁，后改用力F₂作用于物体，F₂对物体做功W₂，则整个过程中外力对物体所做总功W=W₁ +W₂。

(4)和动量定理一样，动能定理也建立起过程量(功)和状态量(动能)间的联系。这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。和动量定理不同的是：功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。

(5)应用动能定理时，还应注意参照物的选取。由于动能定理中的功和动能的大小均与参照物的选取有关，所以使用动能定理时，参照物不能变化。一般情况下，均取地面为参照物，即动能中物体的速度，各力做功中的物体位移，都是对地面而言的。

3．机械能

(1)动能

物体由于运动而具有的能量叫做动能。物体的动能用公式表示为：Ek=mv²/2。国际单位制中，动能的单位与功一样，也是焦耳。

动能是标量，没有方向。所以动能只与物体运动的速度大小(速率)有关，而与物体的运动方向无关。物体的动能，一般情况下都是以地面为参照物的。物体的动能最小为零，无负值。

动能与动量的联系：都是描述物体运动状态的量，它们之间大小的关系为：E_k=P²/2m。对同一个物体，它的动量增大，动能也必然增大。反之，动能增大，动量也必然增大。动量是矢量，有方向；动能是标量，没有方向。动量与速度的一次方成正比，动能与速度的二次方成正比。

动能与动量的本质区别还在于守恒定律中所表现出的特点不同：动量是机械运动相互传递时表现出的一个守恒量；而动能则是当机械运动向热运动等其他形式运动转化时所表现出的一个量。

(2)重力势能

物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能。用公式表示：E_p=mgh。重力势能是标量，没有方向。

重力势能有正负，重力势能为正表示物体的势能大于它的零势能面的势能，正的重力势能数值越大表示物体的重力势能越大；重力势能为负表示物体的势能小于它在零势能面的势能，负的重力势能数值越大表示物体的重力势能越小。

重力势能的大小与零势能面的选取有关。由于零势能面的选取是任意的，所以物体的重力势能也是相对的，故物体重力势能的绝对量是没有意义的，只有物体势能的变化量才是有意义的。

(3)弹性势能

物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能。物体的弹性势能的大小与物体的材料、发生弹性形变的大小等有关。

弹性势能与弹力做功的关系，与重力势能与重力做功的关系相类似：弹力做正功，物体的弹性势能就减少；弹力做负功，或者叫外力克服弹力做功，物体的弹性势能就增加。

对于弹性势能，我们只要定性了解就可以了，中学范围内对它的大小不做定量的讨论。

2．功率

(1)功率的定义

功跟完成这些功所用时间的比值，叫做功率。

①功率的定义式为：P=W/t。国际单位制中，功率的单位是瓦特，1瓦特=1焦耳/秒。功率的常用单位还有千瓦，1千瓦=1000瓦特。功率是表示做功快慢的物理量，即能量转化快慢的物理量。

②功率的计算式：P=Fvcosθ，其中θ是力与速度间的夹角。

该公式有两种用法：①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；②当v为某段位移(时间)内的平均速度时，则要求这段位移(时间)内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。

(2)平均功率与即时功率

平均功率表示一段时间内某力做功的平均快慢，即时功率表示某一时刻某力做功的快慢。通常用公式P=W/t来计算平均功率，用公式P=Fvcosθ来计算即时功率，其中v为此时物体的即时速度。

(3)额定功率与实际功率，输出功率与输入功率

额定功率是某机械正常工作时的功率。机械不一定总在额定功率下工作，这时机械的即时功率叫做机械的实际功率。机械对外做功的实际功率，称做此时机械的输出功率；外界对机械做功的实际功率，称做此时机械的输入功率。

(4)汽车的两种加速问题

当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是P=Fv和F-f=ma。

①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算(因为F为变力)。这种运动的v-t图像如图所示。

②恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以A恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率P_m，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=Fžs计算，不能用W=Pžt计算(因为P为变功率)。

要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。

[例2]质量为2t的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大？　

解：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f，即P_m=fžv_m，而速度为v时的牵引力F=P_m/v，再利用F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s²。

1．功

功是作用在物体上的力与物体在力的方向上发生的位移的乘积。用公式表示为W=Fscosθ，θ角是力与物体位移的夹角。

国际单位制中功的单位是焦耳，功的单位还有电子伏、千瓦时、卡等。它们之间的换算关系：1eV=1.6×10^-19J，1kWh=3.6×10⁶J，1cal=4.2J。

(1)首先明确做功的力以及这个力是否是合力。

我们在研究功的时候必须首先明确是在研究哪个力做的功，另外考虑到动能定理的应用条件，我们还应该清楚这个力是否是物体所受的合力。

做功的两个必要因素是：作用在物体上的力和物体在力的方向上发生的位移。

(2)功的本质是力在空间的积累，它和位移相对应(也和时间相对应)。

所谓积累，既可以是力在位移方向的分量Fcosθ与位移s的乘积，也可以是位移在力的方向上的分量scosθ与力F的乘积。理解功的概念时，要从本质上进行理解，而不能套公式。

(3)计算功的方法有两种：

①按照定义求功。即：W=Fscosθ。在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。当时F做正功，表示力在位移方向的分量与位移同向；当时F不做功，当时F做负功，表示力在位移方向的分量与位移反向。

②用动能定理W=ΔE_k或功能关系求功。当F为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功(或者说是合外力做的功)。

这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。

(3)功是能量改变的量度。力对物体做正功，导致物体能量增加；力对物体做负功，导致物体能量减少。

需要对负功再加以说明的是：一个力对物体做了负功，也可以说成物体克服这个力做了功，例如，物体竖直上抛时，重力对物体做了-6焦耳的功，也可以说物体克服重力做了6焦耳的功．

合力做的功等于各分力功的代数和。由于功是标量，所以当物体受到几个力的作用时，各力所做的功相加，就等于合力所做的功。

(4)功与参照物有关，一般必须以地面为参照物。

另外，因为功的决定因素之一位移与参照物有关，所以功的大小还与参照物的选取有关。比如，我用力推桌子，但没有推动。以地面为参照物我没有做功，而以运动的物体为参照物，我却做了功。所以一般情况下研究功，必须以地面为参考物。

(5)一对作用力和反作用力做功的特点

(1)一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。

(2)一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零(静摩擦力)、可能为负(滑动摩擦力)，但不可能为正。

[例1]如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是多少？(1)用F缓慢地拉；(2)F为恒力；(3)若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有

A．　　 B．　　 C．　　 D．

解：(1)若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服重力做的功。选D

(2)若F为恒力，则可以直接按定义求功。选B

(3)若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D

在第三种情况下，由，可以得到，可见在摆角为时小球的速度最大。实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。

48．(6分)假说-演绎法是在观察和分析基础上提出问题，通过推理和想像提出解释问题的

假说，根据假说进行演绎推理，再通过实验检验演绎推理的科学方法。果蝇体表硬而长

的毛称为刚毛，一个自然繁殖的直刚毛果蝇种群中，偶然出现了一只卷刚毛雄果蝇。请

回答下列问题：

　 (1)卷刚毛性状是如何产生和遗传的呢？有一种假说认为这是亲代生殖细胞中X染色体上的基因发生显性突变，请尝试再写出两种假说：

　　　　 ①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 ②　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 (2)已知这只卷刚毛雄果蝇与直刚毛雌果蝇杂交，F₁全部直刚毛，F₁雌雄果蝇随机交配，F₂的表现型及比例是直刚毛雌果蝇：直刚毛雄果蝇：卷刚毛雄果蝇=2：1：1，此时最合理的假说是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

　　　　 若为你提供以下纯合的果蝇作为材料：直刚毛雌果蝇、直刚毛雄果蝇、卷刚毛雌果蝇、卷刚毛雄果蝇。请你根据上述材料选择亲本类型，设计一个最具说服力的实验(只进行一次杂交实验)，以验证该假说：

　　　　 实验方案：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 请绘出验证实验的遗传图解(用A-a表示基因)，并分析实验结果：

47．(6分)1952年，赫尔希和蔡斯完成了著名的噬菌体侵染细胞的实验，据图分析：

　 (1)实验包括4个步骤：

　　　　 ①噬菌体与大肠杆菌混合培养：

　　　　 ②³⁵S和³²P分别标记噬菌体；

　　　　 ③放射性检测；

　　　　 ④离心分离。

　　　　 该实验步骤的正确顺序是　　　　　　　　　 (用数字表示)。

　 (2)如果让放射性同位素主要分布在图中离心管的上清液中，则获得的实验中噬菌体的培养方法是　　　　　　　　　　　 。

　　　　　　　 A．用含³⁵S的培养基直接培养噬菌体

　　　　　　　 B．用含³²P培养基直接培养噬菌体

　　　　　　　 C．用含³⁵S的培养基培养细菌，再用此细菌培养噬菌体

　　　　　　　 D．用含³²P的培养基培养细菌，再用此细菌培养噬菌体

　 (3)用被³²P标记的噬菌体去侵染未被标记的大肠杆菌，离心后，发现上清液中有放射性物质存在，这些放射性物质的来源可能是　　　　　　　　　　　　　 。

　 (4)噬菌体的DNA连续复制n次后，产生的子代噬菌中含亲代噬菌体的DNA的个体应占总数的　　　　　　　　　　　 。

　 (5)噬菌体侵染大肠杆菌的实验证明了　　　　　　　　　　　　　　　　　 。