3、常见的表达式

①p^/=p，其中p^/、p分别表示系统的末动量和初动量，表示系统作用前的总动量等于作用后的总动量。

②Δp=0 ，表示系统总动量的增量等于零。

③Δp₁=－Δp₂，其中Δp₁、Δp₂分别表示系统内两个物体初、末动量的变化量，表示两个物体组成的系统，各自动量的增量大小相等、方向相反。

其中①的形式最常见，具体来说有以下几种形式

A、m₁v_l+m₂v₂＝m₁v^/_l+m₂v^/₂，各个动量必须相对同一个参照物，适用于作用前后都运动的两个物体组成的系统。

B、0= m₁v_l+m₂v₂，适用于原来静止的两个物体组成的系统。

C、m₁v_l+m₂v₂=(m₁+m₂)v，适用于两物体作用后结合在一起或具有共同的速度。

[例1]由动量定理和牛顿第三定律推出动量守恒定律(以两个物体为例)

　　 解析：设两物体质量分别为m₁、m₂，作用前后的速度分别为v₁、v₂与v₁^/、v₂^/．在Δt时间内m₁、m₂所受外力为 F_l、F₂，内力：第 1个对第 2个物体作用力为f₁₂，其反作用力为f₂₁．

　　　 根据动量定理：

　　 对m₁：(F_l十f₂₁)Δt＝m₁ v₁^/-m₁ v₁

　　 对m₂：(F₂十f₁₂)Δt= m₂ v₂^/一m₂ v₂

　　 根据牛顿第三定律f₁₂= f₂₁　　 又由于F_l十F₂＝0

　　 所以m₁ v₁^/-m₁ v₁＝m₂ v₂^/一m₂ v₂　　　 整理得：m₁ v₁+m₂ v₂ =m₁ v₁^/+m₂ v₂^/

2、　 动量守恒定律适用的条件　　

①系统不受外力或所受合外力为零．

②当内力远大于外力时．

③某一方向不受外力或所受合外力为零，或该方向上内力远大于外力时，该方向的动量守恒．

1、内容：相互作用的物体，如果不受外力或所受外力的合力为零，它们的总动量保持不变，即作用前的总动量与作用后的总动量相等．

2、物体动量的增量可以是物体质量不变，由速度变化形成：ΔP=mv₂I一mv₁=m(V₂一v₁)=mΔv，

　　 动量定理表达为FΔt=mΔv.也可以是速度不变，由质量变化形成：ΔP＝m₂v一m_lv=(m₂一m_l)v＝Δmv,动量定理表达为FΔt＝ΔmV。在分析问题时要注意第二种情况。

[例4]宇宙飞船进入一个宇宙尘埃区，每前进lm，就有10个平均质量为2×10^－7的微尘粒与飞船相撞，并附在飞船上。若尘埃微粒原来的速度不计，要保持飞船的速度10 km/s，飞船喷气产生的推力至少应维持多大？

解析：设飞船速度为v，飞行时间为Δt，每前进1m附着的尘粒数为n，尘粒的平均质量为m₀，则在Δt内飞船增加的质量Δm＝nm₀vΔt.

据动量定理FΔt＝Δmv。可知推力：

[例5]科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际宇宙飞船，按照近代光的粒子说，光由光子组成，飞船在太空中张开太阳帆，使太阳光垂直射到太阳帆上，太阳帆面积为S，太阳帆对光的反射率为100%，设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子，每个光子的动量为p，如飞船总质量为m。

求：(1)飞船加速度的表达式。

(2)若太阳帆面对阳光一面是黑色的，情况又如何？

解析:(1)设经过时间t，则在时间t内射到太阳帆上的光子数为：N＝nst……①

　　 对光子由动量定理得Ft=NP一N(一P)……②　　 对飞船由牛顿运动定律得F＝ma……③

　 由以上三式解得飞船的加速度为

(2)若太阳帆面对阳光的一面是黑色的，则对光子由动量定理得：ft=0一N(一P)……④

由①③④得

[例6]自动称米机已在许多大粮店广泛使用。买者认为：因为米流落到容器中时有向下　 的冲力而不划算；卖者则认为：当预定米的质量数满足时，自动装置即刻切断米流时，此刻尚有一些米仍在空中，这些米是多给买者的，因而双方争执起来，究竟哪方说得对而划算呢？(原理如图所示)。

解析：设米流的流量为dkg／s，它是恒定的，自动装置能即刻在出口处切断米流，米流在出口处速度很小可视为零，若切断米流后，盛米的容器中静止的那部分米的质量为m₁kg，空中还在下落的米质量为m₂kg，则落到已静止的米堆(m₁)上的一小部分米的质量为Δm kg．取Δm为研究对象，这部分米很少，在Δt时间内Δm=d·Δt，设其落到米堆上之前的速度为V，经Δt时间静止，其受力如图所示，由动量定律得

(F一Δmg)Δt=ΔmV　　 即F=dV十d·Δt·g

根据牛顿第三定律知F=F^/，　　 称米机的读数应为=m₁+m₂+Δm

可见，称米机读数包含了静止在袋中的部分m₁，也包含了尚在空中的下落的米流　 m₂应包含刚落至米堆上的一小部分Δm，即自动称米机是准确的，不存在哪方划算不划算的问题。

点评：本例是物理知识在实际生活中应用综合题，涉及物理中的冲量，动量、动量守恒、牛顿第三定律等知识。考查学生应用学科知识解决实际问题的能力，解此题必须正确分析现象，形成正确的物理图景，恰当运用物理规律求解。　

散　　　　　 动量守恒定律

知识简析　　 一、动量守恒定律

1、动量定理FΔt＝mv_t－mv₀可以用一种更简洁的方式FΔt=ΔP表达，式中左边表示物体受到的冲量，右边表示动量的增量(变化量)。此式稍加变形就得

其含义是：物体所受外力(若物体同时受几个力作用，则为合外力)等于物体动量的变化率。这一公式通常称为“牛顿第二定律的动量形式”。这一形式更接近于牛顿自己对牛顿第二定律的表述。应用这个表述我们在分析解决某些问题时会使思路更加清晰、简洁。

[例1]如图所示，在粗糙水平面上放一三角本块a，若物体b在a的斜面上静止，加速，匀速或减速下滑时．在四种情况下a对平面的压力比a、b两重力之和大还是小？

解法一：(常规解法)如图所示，

　　 N=G_a+N_y+f_y

　　 N_y＝N_b－acosθ＝G_bcos²θ

　　 f_y=f_b－asinθ，当b沿斜面匀速下滑时，在数值上f_b－a=f_a－b= G_bsinθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 所以f_y＝G_bsin²θ

　　 所以 N＝ G_a+G_bsin²θ+G_bcos²θ＝G_a+G_b

　　 当b在a上静止时情形亦如此N＝G_a+G_b

当b在a上加速下滑时f＜G_bsinθ，所以 N＜G_a+G_b

当b在a上减速下滑时f＞G_bsinθ，所以N＞G_a+G_b

解法二：将a、b视为一整体如图所示，将N分解

　　 根据动量定理［N₀－(G_a+G_b )］Δt=ΔP

　　 显然匀速运动时N= G_a+G_b

　　 加速运动时N＜G_a+G_b

　　 减速运动时N＞G_a+G_b

　　 下面我们再来讨论a与地面间摩擦力的方向

　　 (1)当b沿料面匀速运动或静止在斜面上；

　　 (2)当b沿斜面加速下滑；

　　 (3)当b沿斜面减速下滑；

　　 (4)当b沿斜面向上运动．

解法一：(l)当b静止在斜面或沿料面匀速下滑时对b有：G_bsinθ＝f　 N＝G_bcosθ

　　　 对a受力分析如图所示，比较f_x与N_x的大小

　　 f_x=fcosθ= G_bsinθcosθ，N_x＝G_bcosθsinθ

　　 所以当b静止或沿料面匀速下滑时，f_x=N_x，a与平面间无摩擦力．

(2)当b沿斜面加速下滑时对b ，G_bsinθ＞f所以对a ，f_x＜N_x，摩擦力方向向左

(3)当b沿斜面减速下滑时　 G_bsinθ＜f所以对a，f_x＞N_x，摩擦力方向向右

(4)当b沿斜面向上运动时，a受到b对它摩擦力的方向斜向上，很显然地面对a摩擦力方向向左．

解法二：将ab视为一个系统，将b的速度分解如图所示，

　　 (1)当停止或匀速下滑时，Δv_x＝0．

　　 根据动量定理，ab在水平方向受到冲量为零，所以产生冲量的摩擦力为零．

　　 (2)当沿斜面加速下滑时fΔt＝m_bΔv_x，f与Δv_x同向，所以f方向向左．

　　 (3)当沿斜面减速下滑时：我们可用同样方法得出f方向向右．

注意：当b沿斜面向上匀速运动时，Δv_x＝0，由动量定理可知，f应当为零，而实际上方向向左，为什么？这里必须清楚．当b沿斜面向上匀速运动时，对这个系统，水平方向的合外力已经不单是f了，必须有除f以外的外力存在，而且它的方向或者其分力方向水平向右，否则b不会沿斜面向上匀速运动．

[例2]如图所示，等臂天平左端有一容器，内盛有水，水中有一密度小于水密度的木球．有一细绳一端系球，一端固定于烧杯底部，整个系统处于平衡状态，假设细绳突然断裂，小球相对于水向上加速运动，天平将如何？

解法一：按照常规则应进行如下分析

对盘：如图4-12中1所示(N为臂对盘的支持力，F为杯对盘的压力)

　　 N＝F+G_盘　 ①

对杯底：如图4-12中2所示(F^/为盘对杯的支持力，T为绳对杯的拉力，F_水为水对杯的压力)

　　 F^/＝F　　　　 F^/＝G_杯+F_水－T　　 ②

对水：如图4－12中3所示( F^/_水为杯底对水的支持力，F^/_浮为球对水作用力)

　　 F^/_水＝ F^/_浮十G_水 ③

对球(F_浮为水对球的浮力，T^/为绳对球的拉力，T^/= T)F_浮＝F^/_浮

　　 当静止时　 F_浮=T^/十 G_球 代入③得　　 F^/_水=T^/十G_球 + G_水　　 代入②得

　　 F^/= G_杯十 G_水+G_球　　　 代入①得　　 N＝G_盘+G_杯十 G_水+G_球

当绳断时，对杯底如图4-12中4所示，

　　 F^/＝G_杯+ G_水　　 ④

　　 F_浮一G_球=m_木球a－m_水球a　　 即F_浮 =G_球十m_木球a－m_水球a　 代入③得

　　 对水F^/_水= G_球+G_水+m_木球a－m_水球a　　 代入④得

　　 F＝G_杯十G_水十G_球十m_木球a－m_水球a　　 代入①得　　 N＝G_盘+G_杯十 G_水+G_球十m_木球a－m_水球a　　 所以天平左端上升．

解法二：若将盘、杯、水、球视为一个整体，则根据动量定理 FΔt＝ΔP

　　 即［N(G_盘+G_杯十 G_水+G_球 )］Δt=ΔP

　　 当静止时ΔP＝0　　 所以 N＝G_盘+G_杯十 G_水+G_球

　　 当木球向上运动水球向下运动时,ΔP=m_木球Δv－m_水球Δv<0　　 所以 N<G_盘+G_杯十 G_水+G_球 从而知天平左端上升．

　　 说明：前法较后法步骤繁杂，使人接受困难，后法两步即可得出结论，两法比较，繁简分明．

[例3]如图所示，在光滑水平面上，有A、B两辆小车．水平面左侧有一竖直墙．在小车B上坐着一个小孩．小孩与车B的总质量是车A的10倍，两车从静止开始，小孩把车A以对地速度v推出，车A与墙碰撞后仍以原速率返回，小孩接到车A后，又把它以对地速度v推出，车A返回后，小孩再把它推出，每次推出，小车A对地速度都是v，方向向左，则小孩共把车A推出多少次后，车A返回小孩不能再接到？

解析：题中车A多次与车B及墙壁间发生相互作用，而每次与车B作用时，水平方向合力为0，故A、B每次作用时，由车A与车B组成系统动量守恒，而每次作用后车B的速度是下一次作用前的速度，这为一个隐含条件，车A返回，小孩不能接到的临界条件是v_B=v．

设第一次、第二次、…、第n次作用后，车B的速度为v₁，v₂，…，v_n，每次作用，车A与车B动量守恒，从而得到

0=10mv_l－mv ………①　　 (A、B第1次作用)

　　 10mv_l +mv＝10mv₂－mv　 ………②　　 (A、B第2次作用)

　　 10mv₂ +mv＝10mv₃－mv　 ………③　　 (A、B第3次作用)

　　 ………

　　 10mv_n－1 +mv＝10mv_n－mv　 　　(A、B第n次作用)

　　 把n式相加得：(n-1)mv= 10mv_n－nmv

　　　 即得：v_n=v≥v　　　 则 n≥5．5， n取整数， n＝6次后，车A 返回时，小孩接不到车A

巧解：对A、B系统，所受合外力就是墙的弹力．这个弹力每次产生冲量大小为2mv，要使B不再接到 A，必须v_A≤v_B．这里先取一个极限值v_A=v_B=v ，则：

　　　 根据动量定理，　　　 n2mv=(M+m)v

　　　 将M＝10m代入解得 n＝5．5，所以推6次即可．

2、动量定理的初步应用

[例4]如图所示，质量为2kg的物体，放在水平面上，受到水平拉力F＝4N的作用，由静止开始运动，经过1s撤去F，又经过1s物体停止，求物体与水平面间的动摩擦因数。

解析:在水平面上物体受力分析如图所示，据题意物体的运动分为两个阶段，第一阶段水平方向受拉力F和摩擦力f的作用，历时t₁＝1s;第二阶段撤去F后只受摩擦力f的作用又历时t₂=ls.全过程初始速度为0，全过程结束时末速度也为0，所以总动量的增量为0.

应用动量定理可列式：Ft_l一f(t_l十t₂)＝0

其中摩擦力f＝μN=μmg

由以上两式得：

注意:应用动量定理公式I＝mv₂一mv_l时，不要把公式左边的冲量单纯理解为合外力的冲量，可以进一步理解为“外力冲量的矢量和”，这样就对全过程应用一次动量定理就可以解决问题而使思路和解题过程简化。

[例5]质量为m=2kg的小球，从离地面h₁=5 m高处自由下落，球和地面相碰后又反弹至h₂＝3.2 m高处，已知上述过程经历的时间t=1.9s，求地面和小球间的平均弹力是多大？

解析:小球下落时是自由落体运动，下落时间和落地时末速不难求出，反跳后作竖直上抛运动，上升时间和上抛的初速度也能求出，和地面作用的时间为由总时间和下落与上升的时间差，用动量定理就能求出地面的作用力。

落地时速度：,下落所用时间：

反弹后上升初速度：,反弹后上升时间：

对球和地面碰撞过程用动量定理，设向上方向为正：(F一mg)(t一t₁一t₂)=mv₂一(一mv_I)

[例6]如图所示，A、B经细绳相连挂在弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，当A、B间绳突然断开物体A上升到某位置时速度为v，这时B下落速度为u，在这段时间内弹簧弹力对物体A的冲量为　　　

解析：把AB作为一个整体应用动量定理得：(F－Mg-mg)t=mv+(－Mu)

分别对A、B应用动量定理得：(F－mg)t=mv，－Mgt=－Mu

代入上式得I=Ft=mv+mgt=mv+mu=m(v+u)

[例7]人从高处跳到低处时，为了延长碰撞时间，保护身体不受伤，脚着地后便自然地下蹲．

　 (1)人的这种能力是

　 A．应激性；　　　 B．反射；　　 C．条件反射；D．非条件反射

　 (2)某质量为50kg的飞行员，从5 m高的训练台上跳下，从脚着地到完全蹲下的时间约为1s，则地面对他的作用力为多大？(g＝10m／s²)

　 (3)假如该飞行员因心理紧张，脚着地后未下蹲，他和地碰撞的时间为0．01s，则此时地对人的力又是多大？

解析：(1)B、D正确 (2)下落 5m时速度v_t=＝10m／s

　 由动量定理得(F_l－mg)t₁＝mv　　 F₁＝mv/t₁+mg＝1×10³N

　(3)由动量定理得(F₂一mg)t₂＝mv　 F₂＝mv/t₂+mg＝5．05×10⁴N

[例8]据报道，一辆轿车在高速强行超车时，与迎面驰来的另一辆轿车相撞，两车身因碰撞挤压，皆缩短了约0.5m,据测算相撞时两车的速度均为109km/s,试求碰撞过程中车内质量60kg的人受到的平均冲击力约为多少?

解析:两车相碰时认为人与车一起做匀减速运动直到停止,此过程位移为0.5m,设人随车做匀减速运动的时间为t,已知v₀≈30m/s,由

根据动量定理有Ft=mv₀,解得F=5.4×10⁴N

[例9]滑块A和B用轻细绳连接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F作用在B上，使A、B一起由静止开始沿水平桌面滑动，已知滑块A、B与水平桌面间的滑动摩擦因数μ，力F作用t秒后，A、B间连线断开，此后力F仍作用于B，试求：滑块A刚刚停住时，滑块B的速度多大？滑块A、B的质量分别为m_A、m_B

解析：(1)取滑块A、B为研究对象，研究A、B整体做加速运动的过程，根据动量定理，有：[F－μ(m_A+m_B)g]t＝(m_A+m_B)V－0．

由此可知A、B之间连线断开时，A、B的速度为V=[F－μ(m_A+m_B)g]t/(m_A+m_B)

(2)研究滑块A作匀减速运动过程，根据动量定理有：－μm_Agt^/=0－m_AV

将V代入上式，可求得滑块A作匀减速滑行时间为：t^/==

(3)研究滑块A、B整体．研究从力F作用开始直至A停住的全过程．此过程中物体系统始终受到力F及摩擦力的冲量，根据动量定理，有[F－μ(m_A+m_B)g](t+t^/)=m_Bv_B

将t^/代人上式，可求出滑块A刚停住时滑块BR的速度为v_B=

[例10]质量为M的金属块和质量为m的木块用细线连在一起，在水中以加速度a下沉，不计水的阻力。某时刻，下沉的速度为v时，细线突然断了，此后金属块继续下沉，木块上浮经t秒木块跃出水面。测得木块跃出水面的初速度v₁，若此时金属块还未沉到湖底，求此时金属块的速度v₂？

解析:把金属块和木块看成是一个系统，则此系统受到外力的冲量应等于其动量的增量。系统受到的外力为金属块与木块各自受到的重力和水的浮力，由于已知它们在水中一起下沉的加速度，可用牛顿第二定律求出其受到的合力。

　　 设竖直向下为正方向，它们在水中受到的浮力分别为F₁和F₂。

　　 据动量定理：(mg+Mg一F₁－F₂)t＝(Mv₂一mv_l)一(m十M)v……①

　　 据牛顿第二定律，它们一起下沉时:Mg十mg一F₁一F₂＝(m+M) a……②

把②代入①得(m+M)at＝(Mv₂一mv_l)一(m+M)v解得

试题展示

散　　　　　 动量定理的拓展应用

5．用动量定理解题，只能选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体做参照物。忽视冲量和动量的方向性，造成I与P正负取值的混乱，或忽视动量的相对性，选取相对地球做变速运动的物体做参照物，是解题错误的常见情况。

规律方法1、冲量和动量变化量的计算

[例1]如图所示，倾角为α的光滑斜面，长为s，一个质量为m的物体自A点从静止滑下，在由A到B的过程中，斜面对物体的冲量大小是　　　　　　 ，重力冲量的大小是　　　　　　 。物体受到的冲量大小是　　　　　　 (斜面固定不动)．

　解析：该题应用冲量的定义来求解．物体沿光滑料面下滑，加速度a=gsinα，滑到底端所用时间，由s=½at²，可知t==

由冲量的定义式I_N=Nt=mgcosα,　　 I_G=mgt=mg

　　 I_合＝F_合t＝mgsinα

点评：对力的冲量计算，学生比较习惯按做功的方法求，如I_F易算为Fcosθt，而实际为Ft，对支持力、重力的冲量通常因为与位移垂直而认为是零。冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。对动量变化量，分不清应该用那个力的冲量来计算，实际只要求出合外力的冲量就可以了。

[例2]一单摆摆球质量m=0．2kg，摆长l=0．5m．今将摆球拉高与竖直方向成5⁰角处由静止释放，求摆球运动至平衡位置过程中重力的冲量和合力的冲量．(g＝10 m／s²)

解析：摆球重力为恒力，且时间t为单摆周期的1/4，即t=T/4=．所以

　　 I_G＝mg=0.2×10×≈0．69 N·s

　　 摆球所受合力为变力，不能直接用公式I＝Ft计算，只能应用动量定理求之：

　　 F_合t＝Δmv=m≈0．039 N·s

答案：0．69 N·S；0．039 N·S

说明：(1)注意区别所求的是某一力的冲量还是合外力的冲量．

　　 (2)恒力的冲量一般直接由I＝Ft求，变力的冲量一般由I＝ΔP求．

[例3]以初速度v水平抛出一质量为m的石块，不计空气阻力，则对石块在空中运动过程中的下列各物理量的判断正确的是(　　 )

A.在两个相等的时间间隔内，石块受到的冲量相同

B.在两个相等的时间间隔内，石块动量的增量相同

C.在两个下落高度相同的过程中，石块动量的增量相同

D.在两个下落高度相同的过程中，石块动能的增量相同

解析：不计空气阻力，石块只受重力的冲量，无论路程怎样，两个过程的时间相同，重力的冲量就相同，A正确。据动量定理，物体动量的增量等于它受到的冲量，由于在两个相等的时间间隔内，石块受到重力的冲量相同，所以动量的增量必然相同，B正确。由于石块下落时在竖直分方向上是作加速运动，两个下落高度相同的过程所用时间不同，所受重力的冲量就不同，因而动量的增量不同，C错。据动能定理，外力对物体所做的功等于物体动能的增量，石块只受重力作用，在重力的方向上位移相同，重力功就相同，因此动能增量就相同，D正确。答案：ABD。

4．动量定理公式中的等号表明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相等，方向一致，单位相同。但考生不能认为合外力的冲量就是动量的增量，合外力的冲量是导致研究对象运动改变的外因，而动量的增量却是研究对象受外部冲量作用后的必然结果。

3．动量定理公式中的Δ(mv)是研究对象的动量的增量，是过程终态的动量减去过程始态的动量(要考虑方向)，切不能颠倒始、终态的顺序。

2．动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。它可以是恒力，也可以是变力。当合外力为变力时F则是合外力对作用时间的平均值。