2.三棱锥的等(体)积变换是解决点到面的距离的常见方法之一； “割”“补”是解决立体几何，尤其是体积问题的常用技巧.

正棱锥的四个“特征”直角三角形，是将“空间问题”转化为“平面问题”的桥梁.

1.棱柱、棱锥的概念和性质是研究解决问题的依据，要能正确利用这些知识进行图中点、线、面的位置关系的分析和计算；

[例1]如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC.

(1)求证：S-ABC为正三棱锥；

(2)已知SA=a，求S-ABC的全面积.

证明(1)：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连结AO并延长交BC于D.

因为SA⊥BC，所以AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC.又∠BAC=60°，故△ABC为正三角形，且O为其中心.所以S－ABC为正三棱锥.

解(2)：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60⁰，

所以SO=a，AO=a.因O为重心，

所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot60⁰=a，

OD=AD=a.

在Rt△SOD中，SD²=SO²+OD²=(a)²+(a)²=，则SD=a.于是，(S_S－ABC)_全=·(a)²sin60°+3··a·a=a².

◆思悟探讨

(1)求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式

S_正棱锥底=cosα·S_正棱锥侧(α为侧面与底面所成的二面角).

(2)注意到高SO=a，底面边长BC=a是相等的，因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质，反之亦真.

(3)正三棱锥中，若侧棱与底面边长相等，则可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体.

[例2] 三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.

解法一：易知内切球球心O到各面的距离相等.

设E、F为CD、AB的中点，则O在EF上且O为EF的中点.

在△ABE中，AB=6，AE=BE=4，OH=.

解法二：设球心O到各面的距离为R.

则4×S×R=V_A-BCD，

∵S=×6×4=12，V_A-BCD=2V_C-ABE=6.

∴4××12R=6.∴R=.

评述：正多面体与球的切接问题常借助体积求解.

[例3]．(2006邯郸一模)已知，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面成60⁰的角，AB⊥AC，BC₁⊥A₁C₁，AB=4，AC=3.

(1).求证：截面ABC₁⊥底面ABC；

(2).求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积的最小值；

(3).求三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积最小时，截面A₁BC₁与底面ABC所成二面角的大小.

证(1)：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中, AC ∥A₁C₁,

∵BC₁⊥A₁C₁,　 ∴BC₁⊥AC,又　 AB⊥AC,　

　∴AC⊥面ABC₁,　 ∴面ABC₁⊥面ABC.　

解(2)：作C₁H⊥面ABC于H, 则H在AB上，连CH，则∠HCC₁=60⁰ 当H与A重合时CH最短，棱柱的高C₁H=CHtan60⁰=CH最短

三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 的体积V最小.此时，

∠ACC₁=60⁰, C₁H=AC₁=3

V=

解(3)设面ABC交面A₁BC₁于直线 m,则 m为二面角的棱.

∵AC∥A₁C₁ ,　 ∴AC∥面A₁BC₁,　 AC∥m ,

∴ AB⊥m,　 又AC₁⊥面ABC,

由三垂线定理知C₁B⊥m,

∴∠ABC₁为所求二面角的平面角.在RtΔABC₁中， tan∠ABC₁=

[例4]如图，三个12×12 cm的正方形，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片(如图(1))，把6片粘在一个正六边形的外面(如图(2))，然后折成多面体(如图(3))，求此多面体的体积.

解法一： 补成一个正方体，如图甲，

V=V_正方体­=×12³=864 cm³.

甲　　　　　　　　　 乙

解法二：补成一个三棱锥，如图乙，

V=V_大三棱锥－3V_小三棱锥=864 cm³.

解法三：如图(3)7设C是所在棱的中点，截面CDE把几何体截成两部分，沿DE把上部分翻转过来可拼成正方体的下一半.

◆思考讨论

补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.

5. 补上一个相同的棱柱成为平行六面体；或割成三个相同的三棱锥.

4．先确定点P、A、B、C所在的球面及其直径.

1．提示：BC₁在上底面的射影垂直于AC，必为AB.

法二：AC⊥平面ABC₁，从而平面ABC₁⊥平面ABC……

5. dS;　 6 arccos;　 7.

7.地球的半径为R,北纬45⁰纬线上有2点A、B间的球面距离为大圆周长的，则A、B两地间纬线长为 　　　

◆答案提示：1-3. AAC； 4.

6.在三棱锥S-ABC中，∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°，则侧棱SA与侧面SBC所成的角的大小是_____________

.

5.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，这个侧面与它所对的棱的距离为d，那么这个三棱柱的体积为_________.