(二)考点预测题
1.(2007天津 理工13)设等差数列的公差是2,前项的和为,则 .
[解析]本题设出首项,表示出通项和前和(有限项),然后代入求极限.而在求极限的时候,利用到已经掌握的极限知识和,其中为常数.
[答案]设首项为,则,
,
.
2.(2008山东卷 文20)将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
......
记表中的第一列数构成的数列为,.为数列的前项和,且满足.
(Ⅰ)证明数列成等差数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第行所有项的和.
[解析]第(Ⅰ)问从无穷数列中抽出它的一个无穷的子数列,由与的递推关系式消去,从而证明是无穷的等差数列. 第(Ⅱ)问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和.
[答案](Ⅰ)证明:由已知,当时,,
又,所以,
即,所以,
又.所以数列是首项为1,公差为的等差数列.
由上可知,即.
所以当时,.
因此
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为,且.
因为,所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项,
故在表中第13行第三列,因此.
又,所以.
记表中第行所有项的和为,
则
(一)考点预测
根据近几年各地高考试题和模拟试题来看,有限与无限的思想逐年增加考查广度,我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看,热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.
2.(安徽省皖南八校2008届高三第三次联考,数学,18)数列的首项=1,前项和为满足(常数,).
(1)求证:数列是等比数列.
(2)设数列的公比为,作数列,使,(2,3,4,…)
求数列的通项公式;
(3)设,若存在,且;使(…),试求的最小值.
[解析]第(1)问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比,正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第(2)问也是通过对递推关系式(无限的问题)的变形来求通项公式的(无限的问题).第(3)问通过抓住通项来求有限项的极限,再根据这个极限求出的最小值.
[答案] 解:(1) ①
当时, ②
①-②得,即
由①, ,∴,
又符合上式,∴是以1为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知,∴(),
∴.又,即,,
∴数列是为1首项,为公比的等比数列.
∴,∴.
(3)由(2)知,则.
∴…=
=,
∴,∴. ∵,∴,.
又∵,∴的最小值为7.
1.(福建省泉州一中2008届高三毕业班第二次模拟检测,数学,22)数列中,,
(为常数,) ,且
(1)求的值;
(2)① 证明:;
② 猜测数列是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明);
(3)比较与的大小,并加以证明.
[解析]第(1)问由通项公式(揭示无限问题)求出有限项后可得的值;第(2)问通过对有限项的处理证明出结论,从而可猜出的极限;第(3)问对得到的递推关系式进行变形,再用作差法求解,需要用到数学归纳法证得.然后通过前几项(有限项)的比较与第(2)问已证的单调性得到结果.
[答案](Ⅰ)依题意,
由,得,解得,或(舍去).
(Ⅱ)① 证明:因为,
当且仅当时,.因为,所以,即 ().
② 数列有极限,且 .
(Ⅲ)由,可得,从而.
因为,所以
所以
因为,由(Ⅱ)① 得 (). (*)
下面用数学归纳法证明:对于任意,有成立.
当时,由,显然结论成立.
假设结论对时成立,即
因为,且函数在时单调递增,
所以.即当时,结论也成立. 于是,当时,有成立. (**)
根据(*)及(**)得 .
由 及, 经计算可得
所以,当时, ;当时,;
当时,由,得
所以.
3.(2008辽宁卷21)在数列,中,a1=2,b1=4,且成等差数列,成等比数列().
(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测,的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:.
[解析]第(Ⅰ)问由题设可得两个数列的递推关系式,进而得到两个数列的前几项(有限项) ,可以猜出两者的通项公式(无限的问题),再用数学归纳法证明这个无限的问题.第(Ⅱ)问可以通过研究通项公式(无限的问题)直接解决无限的问题.
[答案](Ⅰ)由条件得,由此可得
.猜测.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,由上可得结论成立.
②假设当n=k时,结论成立,即,
那么当n=k+1时,,
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②,可知对一切正整数都成立.
(Ⅱ).n≥2时,由(Ⅰ)知.
故
.
综上,原不等式成立.
2. (2005年福建卷,理,22) 已知数列满足,我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当时,得到无穷数列:当时,得到有穷数列:.
(Ⅰ)求当为何值时;
(Ⅱ)设数列满足, ,求证:取数列中的任一个数,都可以得到一个有穷数列;
(Ⅲ)若,求的取值范围.
[解析] 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系,随着所给出的初始条件不同,得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列,第(Ⅱ)问则可以通过有有限次的试验,得出对无限个都可以得到一个有穷数列{an}的猜想,再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第(Ⅲ)问是把对无限个都成立的结果,通过有限次分析获得解决.
[答案](Ⅰ)
(Ⅱ) 解法一:,,
当时, ,
当时,,,
当时,,.
一般地, 当时,可得一个含有项的有穷数列.
下面用数学归纳法证明.
(1) 当时, ,显然,可得一个含有2项的有穷数列
(2) 假设当时,,得到一个含有项的有穷数列,其中
,则时,,,
由假设可知, 得到一个含有项的有穷数列,其中.
所以,当时, 可以得到一个含有项的有穷数列,,其中
由(1),(2)知,对一切,命题都成立.
解法二:
故取数列中的任一个数,都可以得到一个有穷数列.
(Ⅲ)即,
所以要使,当且仅当它的前一项满足.
由于,所以只须当时,都有
由,得, 解得.
1. (2008安徽卷,理,14)在数列在中,,,,其中为常数,则的值是 .
[解析]本题根据通项与前n项和可以求出常数的值,再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即)来解决新的极限问题.
[答案]由知,是公差为4的等差数列,故
,解得,,从而.
5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现,随着高中课程改革,对新增内容的深入考查,必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.
4、立体几何中求球的表面积与体积的推导,实际上是先进行有限次分割,然后再求和、求
极限;数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等,这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.
3、积累的解决无限问题的经验,将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向,同时有利于解决新的无限的问题.
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