4. 定义在上的奇函数的最小正周期为3,则下列关系中恒成立的是( B )
A. B.
C. D.
3. (2008全国Ⅱ)函数的图像关于( C )
A.轴对称 B. 直线对称
C. 坐标原点对称 D. 直线对称
2.下列函数中为奇函数的是 ( C )
A. B.
C. D.
1.二次函数是偶函数,则函数的增区间为 ( A )
A. B. C. D.
2.设为定义在上的偶函数,当时,的图象是经过点,斜率为的射线,又在的图象中有一部分是顶点在,且过点的一段抛物线.试写出函数的表达式,并作出其图象.
[解析]当时,设,则由,即,得;
当时,设,
则由,即,得;
当时,.
故f(x)=.
[题型3] 函数的周期问题
[例3] 求下列函数的周期:
(1) (2)
[解析](1)由得,,所以函数周期为
(2)由得,,所以函数的周期为.
[点评]这是一个抽象函数的周期问题,注意已知等式中变量的替换,再与周期的定义结合,就可以得出周期.
[变式与拓展]
已知偶函数是定义在上的周期函数,其最小正周期为4.
(1)若,求的值;
(2)若在上递增,则下列关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析](1)∵4是函数的周期,∴也是函数的周期.
于是,.
(2)偶函数在在上递增,则在[2,4]上递减。由函数的最小正周期为4知,在[0,2]上递增。排除(B),又,排除(D).
∵,∴选(C).
能力训练
1.判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)
[解析](1)由,得,定义域关于原点对称,
又,所以是定义域上的奇函数.
(2)定义域为,关于原点对称,
又当时,,则时,,
∴,
又当时,,则时,,
∴,
故原函数为偶函数.
[题型2]函数奇偶性的应用
[例2]设,是R上的偶函数.
(1)求a的值;
(2)证明在上是增函数.
[解析](1)∵是上的偶函数,∴.
∴
不可能恒为“”,∴当时等式恒成立,∴a=1.
(2)在上任取,
f(x1)-f(x2)=
∵e>1,∴0<>1,∴>1,
∴,∴是在上的增函数.
[点评]本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识.
[变式与拓展]
4.周期函数的定义:对于函数,如果存在一个不等于的常数,使得当取定义域内的任意值时都有,则是周期函数,是它的一个周期.对于一个周期函数,如果所有周期中存在一个最小的正的周期,就把这个周期叫做最小正周期.
教材透析
知识点1:奇偶函数的定义域关于原点对称,解题时要优先考虑;定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数.
知识点2:函数奇偶性的判断方法:①定义域关于原点对称;②对于奇函数若定义域中有,则;③ 特值检验,然后再证明;④利用某些性质:在公共定义域内,偶函数与偶函数的和(或差或积或商)是偶函数,奇函数与奇函数的和(或差或积或商)是奇函数,(作商时,注意分母不能为)奇函数与偶函数的积与商为奇函数.
知识点3:函数奇偶性的应用①作函数图像;②求解析式;③奇偶性与单调性的联系:奇函数的对称区间上单调性相同,偶函数的对称区间上单调性相反;④利用奇偶性求值.
知识点4:若是函数的周期,则的整数倍也是函数的周期.
典例剖析
[题型1]判断函数的周期性
[例1](2002全国文)设函数,.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)求函数的最小值.
[解析](1),
由于,
故既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)f(x)=,
由于在上的最小值为,在内的最小值为,
故函数在内的最小值为.
[点评]因为奇偶函数问题要紧紧抓住“任取”“都有”这两个关键词. 与要同时有意义,f(x)与f(-x)要么相等,要么互为相反数,而要讨论非奇非偶只要说明不满足上述两点之一即可.另外,也可以借助分段函数的草图,帮助分析,然后用代数方法来回答.
[变式与拓展]
3.奇、偶函数的性质
(1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).
(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称.
(3)若奇函数的定义域包含数,则.
(4)奇函数的反函数也为奇函数.
(5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
2.偶函数:对于函数.的定义域内任意一个,都有
(或),则称为偶函数.
1.奇函数:对于函数的定义域内任意一个,都有
(或),则称为奇函数.
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