12.(2010·宁波模拟)某建筑的金属支架如图所示,根据要求
AB至少长2.8 m,C为AB的中点,B到D的距离比CD
的长小0.5 m,∠BCD=60°,已知建造支架的材料每米
的价格一定,问怎样设计AB,CD的长,可使建造这个
支架的成本最低?
解:设BC=am(a≥1.4),CD=bm,连接BD.
则在△CDB中,(b-)2=b2+a2-2abcos60°.
∴b=.
∴b+2a=+2a.
设t=a-1,t≥-1=0.4,
则b+2a=+2(t+1)=3t++4≥7,
等号成立时t=0.5>0.4,a=1.5,b=4.
答:当AB=3 m,CD=4 m时,建造这个支架的成本最低.
11.如图,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,
在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.
解:因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,∴∠OCP=120°.
在△POC中,由正弦定理得
=,∴=,所以CP=sinθ.
又=,∴OC=sin(60°-θ).
因此△POC的面积为
S(θ)=CP·OCsin120°=·sinθ·sin(60°-θ)×
=sinθsin(60°-θ)=sinθ(cosθ-sinθ)
=[cos(2θ-60°)-],θ∈(0°,60°).
所以当θ=30°时,S(θ)取得最大值为.
10.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始________h后,两车的距离最小.解析:如图所示:设t h后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t.
因为AB=200,所以BD=200-80t,
问题就是求DE最小时t的值.
由余弦定理:DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°
=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t
=12900t2-42000t+40000.
当t=时DE最小.
答案:
9.有一山坡,坡角为30°,若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后,升高了100米,则此人行走的路程为 ( )
A.300 m B.400 m C.200 m D.200 m
解析:如图,AD为山坡底线,AB为行走路线,BC垂直水平面.
则BC=100,∠BDC=30°,∠BAD=30°,
∴BD=200,AB=2BD=400 米.
答案:B
8.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
解析:设增加同样的长度为x,原三边长为a、b、c,且c2=a2+b2,a+b>c新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x,知c+x为最大边,其对应角最大.
而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐角,那么它为锐角三角形.
答案:A
题组四 |
正、余弦定理的综合应用 |
7.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,如果c=a,B=30°,那么角C等于 ( )
A.120° B.105° C.90° D.75°
解析:∵c=a,∴sinC=sinA=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)=(sinC+cosC),
即sinC=-cosC.∴tanC=-.又C∈(0,180°),
∴C=120°.
答案:A
6.某人在山顶观察地面上相距2 500 m的A、B两个目标,测得目标A在南偏西57°,俯角为30°,同时测得B在南偏东78°,俯角是45°,求山高(设A、B与山底在同一平面上,计算结果精确到0.1 m).
解:画出示意图(如图所示)
设山高PQ=h,则△APQ、△BPQ均为直角三角形,
在图(1)中,∠PAQ=30°,∠PBQ=45°.
∴AQ=,BQ=
=h.
在图(2)中,
∠AQB=57°+78°=135°,AB=2 500,
所以由余弦定理得:
AB2=AQ2+BQ2-2AQ·BQcos∠AQB,
即2 5002=(h)2+h2-2
h·h·cos135°=(4+
)h2,
∴h=≈984.4(m).
答:山高约984.4 m.
题组三 |
角 度 问 题 |
5.在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ,由此点向塔底沿直线行走了30 m,测得塔顶的仰角为2θ,再向塔底前进10 m,又测得塔顶的仰角为4θ,则塔的高度为________.
解析:如图,依题意有PB=BA=30,PC=BC=.在三角形BPC中,由余弦定理可得
cos2θ=
=,所以2θ=30°,4θ=60°,在三角形PCD中,
可得PD=PC·sin4θ=10·
=15(m).
答案:15 m
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