9. [解] (1),
,
,
.
(2)四边形
和四边形
都是平行四边形,
,
,
,
.又
,
.
点
是
中点,
.
.
.
又,
.
8.
7.
解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴ △AMN ∽ △ABC.
∴ ,即
.
∴ AN=x. ……………2分
∴ =
.(0<
<4)
……………3分
(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =
MN.
在Rt△ABC中,BC ==5.
由(1)知 △AMN ∽ △ABC.
∴ ,即
.
∴ ,
∴ .
…………………5分
过M点作MQ⊥BC 于Q,则.
在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,
∴ △BMQ∽△BCA.
∴ .
∴ ,
.
∴ x=.
∴ 当x=时,⊙O与直线BC相切.…………………………………7分
(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.
∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.
∴ △AMO ∽ △ABP.
∴ .
AM=MB=2.
故以下分两种情况讨论:
① 当0<≤2时,
.
∴ 当=2时,
……………………………………8分
② 当2<<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.
∵ 四边形AMPN是矩形,
∴ PN∥AM,PN=AM=x.
又∵ MN∥BC,
∴ 四边形MBFN是平行四边形.
∴ FN=BM=4-x.
∴ .
又△PEF ∽ △ACB.
∴ .
∴ .
……………………………………………… 9分
=
.……………………10分
当2<<4时,
.
∴ 当时,满足2<
<4,
. ……………………11分
综上所述,当时,
值最大,最大值是2. …………………………12分
6. 解:(1),
,
,
.
点
为
中点,
.
,
.
,
,
.
(2),
.
,
,
,
,
即关于
的函数关系式为:
.
(3)存在,分三种情况:
①当
时,过点
作
于
,则
.
,
,
.
,
,
,
.
②当时,
,
.
③当时,则
为
中垂线上的点,
于是点为
的中点,
.
,
,
.
综上所述,当为
或6或
时,
为等腰三角形.
5. 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠C=45°
∴∆ABE∽∆DCA
(2)∵∆ABE∽∆DCA
∴
由依题意可知CA=BA=
∴
∴m=
自变量n的取值范围为1<n<2.
(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n
∵m=
∴m=n=
∵OB=OC=
BC=1
∴OE=OD=-1
∴D(1-, 0)
∴BD=OB-OD=1-(-1)=2-
=CE,
DE=BC-2BD=2-2(2-
)=2
-2
∵BD+CE
=2
BD
=2(2-
)
=12-8
, DE
=(2
-2)
= 12-8
∴BD+CE
=DE
(4)成立
证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,
∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.
连接HD,在∆EAD和∆HAD中
∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.
∴∆EAD≌∆HAD
∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD+HB
=DH
即BD+CE
=DE
4. Ⅰ.证明:∵DEFG为正方形,
∴GD=FE,∠GDB=∠FEC=90°
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°
∴△BDG≌△CEF(AAS)
Ⅱa.解法一:设正方形的边长为x,作△ABC的高AH,
求得
由△AGF∽△ABC得:
解之得:(或
)
解法二:设正方形的边长为x,则
在Rt△BDG中,tan∠B=,
∴
解之得:(或
)
解法三:设正方形的边长为x,
则
由勾股定理得:
解之得:
Ⅱb.解: 正确
由已知可知,四边形GDEF为矩形
∵FE∥F’E’ ,
∴,
同理,
∴
又∵F’E’=F’G’,
∴FE=FG
因此,矩形GDEF为正方形
3. 证明:(1)四边形
和四边形
都是正方形
(2)由(1)得
∴AMN∽
CDN
2. (1)证明:∵AD=CD,DE⊥AC,∴DE垂直平分AC
∴AF=CF,∠DFA=DFC=90°,∠DAF=∠DCF.
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,∴∠DCF=∠DAF=∠B
在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B
∴△DCF∽△ABC
∴,即
.∴AB·AF=CB·CD
(2)解:①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,
∴AC==
=12,∴CF=AF=6
∴×6=3x+27(x>0)
②∵BC=9(定值),∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小.由(1)可知,点C关于直线DE的对称点是点A,∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小.
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.此时DP=DE,PB+PA=AB.
由(1),∠ADF=∠FAE,∠DFA=∠ACB=90°,地△DAF∽△ABC.
EF∥BC,得AE=BE=AB=
,EF=
.
∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.∴AD=10.
Rt△ADF中,AD=10,AF=6,∴DF=8.
∴DE=DF+FE=8+=
.
∴当x=时,△PBC的周长最小,此时y=
1. 解:(1)皮尺、标杆.
(2)测量示意图如右图所示.
(3)如图,测得标杆,树和标杆的影长分别为
,
.
,
.
.
.
1. 50;2.
10.5;3. 6;4. 4;5. ;6. 6;7. 4.8;8. ∠ADE=∠ACB(或∠AED=∠ABC或
)9. 100;10.
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