17. (1)证明:∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90 o,
又∵AD⊥BP,∴∠ADB=90 o,∴∠ABC=∠ADB,
又∵PB是圆的切线,∴∠ABD=∠ACB,
在△ABC和△ADB中:
,∴△ABC∽△ADB;
(2)连结OP,在Rt△AOP中,AP=12厘米,OA=5厘米,根据勾股定理求得OP=13厘米,又由已知可证得△ABC∽△PAO, ∴,得
,解得AB=
厘米.
16. 解:⑴证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD,
∴∠ABF=∠CEB,
∴△ABF∽△CEB. ………………………………………2分
⑵∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,ABCD,
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF,……………3分
∵,
∴,
,…………4分
∵,
∴,
,……………………………………6分
∴,
∴.…………7分
15. 解:(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:
① ② ,①③, ①④, ②③, ②④, ③④……………2分
其中有两组(①③, ②④)是相似的.
∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=…………4分
(2)证明:选择①、③证明.
在△AOB与△COD中, ∵AB∥CD,
∴∠CDB=∠DBA , ∠DCA=∠CAB,
∴△AOB∽△COD……………………………………………8分
选择②、④证明.
∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠DAB=∠CAB,
∴在△DAB与△CBA中有
AD=BC, ∠DAB=∠CAB,AB=AB,
∴△DAB ≌ △CBA,…………………………………………6分
∴∠ADO=∠BCO.
又∠DOA=∠COB, ∴△DOA∽△COB………………………8分
14.
13. 提示:(1)如图,AD即为所求。
(2),理由如下:
AD平分则
,又
,故
。
12. (1)证明:
,
∴ .
又∵ ,
∴ CF是△ACD的中线,
∴ 点F是AD的中点.
∵ 点E是AB的中点,
∴ EF∥BD,
即 EF∥BC.
(2)解:由(1)知,EF∥BD,
∴ △AEF∽△ABD ,
∴ .
又∵ ,
,
∴ ,
∴ ,
∴ 的面积为8.
11. 解:⑴ 作图:作∠BAC的平分线交线段BC于E; …………………………………………………4分
(痕迹清晰、准确,本步骤给满分4分,否则酌情扣1至4分;另外两点及边作的是否准确,不扣分)
⑵ 如图,∵ 四边形ADEF是正方形,
∴ EF∥AB,AD = DE = EF = FA. ……5分
∴ △CFE ∽△CAB.
∴ .…………………………………6分
∵ AC = 2 ,AB = 6,
设AD = DE = EF = FA = x,
∴ . ………………………………………………………………………………………………………7分
∴ x=.即正方形ADEF的边长为
. ………………………………………………………………8分
(本题可以先作图后计算,也可以先计算后作图;未求出AD或AF的值用作中垂线的方法找到D点或F点,给2分)
10. (1)∵△ABC为等腰三角形
∴AC=BC ∠CAB=∠CBA
又∵CH为底边上的高,P为高线上的点
∴PA=PB
∴∠PAB=∠PBA
∵∠CAE=∠CAB-∠PAB
∠CBF=∠CBA-∠PBA
∴∠CAE=∠CBF
(2)∵AC=BC
∠CAE=∠CBF
∠ACE=∠BCF
∴△ACE-△BCF(AAS)
∴AE=BF
(3)若存在点P能使S△ABC=S△ABG,因为AE=BF,所以△ABG也是一个等腰三角形,这两个三角形面积相等,底边也相同,所以高也相等,进而可以说明△ABC-△ABG,则对应边AC=AE,∠ACE=∠AEC,所以0°≤∠C<90°
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