20.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos=.
(1)求cosB的值;
(2)若·
=2,b=2,求a和c的值.
解:(1)∵cos=,
∴sin=sin(-)=,
∴cosB=1-2sin2=.
(2)由·
=2可得a·c·cosB=2,又cosB=,故ac=6,
由b2=a2+c2-2accosB可得a2+c2=12,
∴(a-c)2=0,故a=c,∴a=c=.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sinxcos(-x)-sin(π+x)cosx+sin(+x)cosx.
(1)求函数y=f(x)的最小正周期和最值;
(2)指出y=f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称.
解:(1)f(x)=2sin2x+sinxcosx+cos2x
=1+sin2x+sinxcosx
=1++sin2x
=sin(2x-)+,
y=f(x)最小正周期T=π.
y=f(x)的最大值为+1=,最小值为-1=.
(2)∵y=+sin(2x-)的图象
y=sin2x的图象.
18.(文)(本小题满分12分)已知sin(π-α)=,α∈(0,).
(1)求sin2α-cos2的值;
(2)求函数f(x)=cosαsin2x-cos2x的单调递增区间.
解:∵sin(π-α)=,∴sinα=.
又∵α∈(0,),∴cosα=.
(1)sin2α-cos2
=2sinαcosα-
=2××-
=.
(2)f(x)=×sin2x-cos2x
=sin(2x-).
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+π,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+π],k∈Z.
(理)(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sinxcosx+(2cos2x-1).
(1)将函数f(x)化为Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的形式,填写下表,并画出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象;
x |
|
|
|
|
|
ωx+φ |
0 |
|
π |
π |
2π |
f(x) |
|
|
|
|
|
(2)求函数f(x)的单调减区间.
解:(1)f(x)=2sinxcosx+(2cos2x-1)
=sin2x+cos2x=2sin(2x+).
x |
- |
|
|
|
|
ωx+φ |
0 |
|
π |
π |
2π |
f(x) |
0 |
2 |
0 |
-2 |
0 |
图.
(2)由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)得
kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
故函数f(x)的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
17.(本小题满分12分)已知tan(α+)=-3,α∈(0,).
(1)求tanα的值;
(2)求sin(2α-)的值.
解:(1)由tan(α+)=-3可得=-3.
解得tanα=2.
(2)由tanα=2,α∈(0,),可得sinα=,cosα=.因此sin2α=2sinαcosα=,cos2α=1-2sin2α=-,sin(2α-)=sin2αcos-cos2αsin=×+×=.
16.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R的部分图象,则下列命题中,正确命题的序号为________.
①函数f(x)的最小正周期为;
②函数f(x)的振幅为2;
③函数f(x)的一条对称轴方程为x=;
④函数f(x)的单调递增区间为[,];
⑤函数的解析式为f(x)=sin(2x-).
解析:由图象可知,函数f(x)的最小正周期为(-)×2=π,故①不正确;函数f(x)的振幅为,故②不正确;函数f(x)的一条对称轴方程为x==,故③正确;④不全面,函数f(x)的单调递增区间应为[+2kπ,+2kπ],k∈Z;由sin(2×+φ)=得2×+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z,∵-π<φ<π,故k取0,从而φ=-,故f(x)=sin(2x-).
答案:③⑤
15.在△ABC中,已知tanA=3tanB,则tan(A-B)的最大值为________,此时角A的
大小为________.
解析:由于tan(A-B)===≤.当且仅当1=tanB时取“=”号,则tanB=⇒tanA=⇒A=60°.
答案: 60°
14.计算:=________.
解析:===.
答案:
13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,C=75°,a=4,则b=________.
解析:易知A=45°,由正弦定理=得=,解得b=2.
答案:2
12.(2010·抚顺模拟)当0<x<时,函数f(x)=的最小值为 ( )
A.2 B.2 C.4 D.4
解析:f(x)===+≥2 =4,当
且仅当=,即tanx=时,取“=”,∵0<x<,∴存在x使tanx=,这时f(x)min=4.
答案:C
11.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析
式可能为 ( )
A.f(x)=2cos(-)
B.f(x)=cos(4x+)
C.f(x)=2sin(-)
D.f(x)=2sin(4x+)
解析:设函数f(x)=Asin(ωx+φ),由函数的最大值为2知A=2,又由函数图象知该函数的周期T=4×(-)=4π,所以ω=,将点(0,1)代入得φ=,所以f(x)=2sin(x+)=2cos(x-).
答案:A
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