5.设f(x) 是定义域为R的一个函数,给出下列五个论断:
① f(x)的值域为R;
② f(x)是R上的单调递减函数;
③ f(x)是奇函数;
④ f(x)在任意区间[a, b] (a<b)上的最大值为f(a),最小值为f(b),且f(a)> f(b);
⑤ f(x)有反函数.
以其中某一论断为条件,另一论断为结论(例如:⑤①),至少写出你认为正确的三个命题: .
讲解:本题考察对于函数性质的理解.
根据单调性的定义,不难知道:②⑤等价,又由于单调函数必有反函数,所以,不难写出三个正确命题:②⑤;④⑤;②④(或④②).
进一步思考,函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系,而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系.所以,可以知道,只有上述三个正确命题.
3.条件和结论都开放型
有些题目条件和结论都是不确定的,但是给出了一定量的信息和情景,要求解题者在题目给出的情景中,自行设定条件,自己寻找结论,自己构建命题并进行演绎推理.
4.(2000年全国高考试题)如图,E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_____________(要求把可能的图形的序号都填上)
分析:本题为结论探索型的试题,要求有一定的空间想象能力。
解:由于正方体的6个面可分为互为平行的三对,而四边形BFD1E的在互为平行的平面上的射影相同,因此可把问题分为三类:a:在上、下两面上的射影为图②;b:在前、后两面上的射影为图②;c:在左、右两面上的射影为图③.
综上可知,在正方体各面上的射影是图②或图③。
点评:这也是一道结论探索型问题,结论不唯一,应从题设出发,通过分类以简化思维,再利用射影的概念,得到正确的结论。
3.老师给出一个函数,四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质:
甲:对于,都有;
乙:在上函数递减;
丙:在上函数递增;
丁:不是函数的最小值.
如果其中恰有三个人说得正确,请写出一个这样的函数:____________.
讲解:首先看甲的话,所谓“对于,都有”,其含义即为:函数的图像关于直线对称.数形结合,不难发现:甲与丙的话相矛盾.(在对称轴的两侧,函数的单调性相反)
因此,我们只需选择满足甲、乙、丁(或乙、丙、丁)条件的函数即可.
如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数,则需要认识到:所谓函数在上单调递减,并不是说函数的单调递减区间只有.考虑到关于直线的对称性,我们不妨构造函数,使之在上单调递减,这样,既不与乙的话矛盾,也满足丁所说的性质.如即可.
如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数,则分段函数是必然的选择.如.
点评:本题考查学生对于函数性质的理解和掌握.思考这样的问题,常常需要从熟悉的函数(一次、二次、反比例函数,指数、对数、三角函数等)入手,另外,分段函数往往是解决问题的关键.
(1999年全国高考) 、是两个不同的平面,、是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断: ①⊥; ②⊥; ③⊥; ④⊥.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:____________________________.②③④①/①③④②;
2.结论开放型
这类题目的特点是给出一定的条件,要求从条件出发去探索结论,而结论往往是不唯一的,甚至是不确定的,或给出特例后通过归纳得出一般性结论. 解决此类问题的策略有:从已知条件出发,运用所学过的知识进行推理、探究或实验得出结论;通过归纳得出一般性结论,再去证明;对多种结论进行优化(内含分类讨论)等.
3.如图,三条直线a、b、c两两平行,直线a、b间的距离为p,直线b、c间的距离为,A、B为直线a上两定点,且|AB|=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求△AMN的外心C的轨迹E;
(2)接上问,当△AMN的外心C在E上什么位置时,d+|BC|最小,最小值是多少?(其中d是外心C到直线c的距离).
解:(1)以直线b为x轴,以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.
设△AMN的外心为C(x,y),则有A(0,p)、M(x–p,0),N(x+p,0),
由题意,有|CA|=|CM|
∴,化简,得x2=2py
它是以原点为顶点,y轴为对称轴,开口向上的抛物线.
(2)由(1)得,直线C恰为轨迹E的准线.
由抛物线的定义知d=|CF|,其中F(0,)是抛物线的焦点.
∴d+|BC|=|CF|+|BC|
由两点间直线段最短知,线段BF与轨迹E的交点即为所求的点
直线BF的方程为联立方程组
得.
即C点坐标为().
此时d+|BC|的最小值为|BF|=.
2.如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件__________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的条件即可,不必考虑所有可能的情况)
分析:本题是条件探索型试题,即寻找结论A1C⊥B1D1成立的充分条件,由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1(平面A1C1的一条斜线A1C与面内的一条直线B1D1互相垂直),容易联想到三垂线定理及其逆定理。因此,欲使A1C⊥B1D1,只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可。显然,CA1在平面A1C1上的射影为A1C1,故当B1D1⊥A1C1时,有A1C⊥B1D1,又由于直四棱柱的上、下底面互相平行,从而B1D1∥BD,A1C1∥AC。因此,当BD⊥AC时,有A1C⊥B1D1。由于本题是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分条件,故当四边形ABCD为菱形或正方形时,依然有BD⊥AC,从而有A1C⊥B1D1,故可以填:①AC⊥BD或②四边形ABCD为菱形,或③四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可。
点评: AC⊥BD是结论A1C⊥B1D1成立的充要条件,而所填的ABCD是正方形或菱形则是使结论A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的条件. 本例中,满足题意的充分条件不唯一,具有开放性特点,这类试题重在考查基础知识的灵活运用以及归纳探索能力。
1.在四棱锥中,四条侧棱长都相等,底面是梯形,,.为保证顶点P在底面所在平面上的射影O在梯形的外部,那么梯形需满足条件___________________(填上你认为正确的一个条件即可).
讲解: 条件给我们以启示.由于四条侧棱长都相等,所以,顶点P在底面上的射影O到梯形四个顶点的距离相等.即梯形有外接圆,且外接圆的圆心就是O.显然梯形必须为等腰梯形.
再看结论.结论要求这个射影在梯形的外部,事实上,我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可.
显然,点B、C应该在过A的直径AE的同侧.不难发现,应该为钝角三角形.
故当(且AC>BC)时可满足条件.其余等价的或类似的条件可以随读者想象.
点评:本题为条件探索型题目,其结论明确,需要完备使得结论成立的充分条件,可将题设和结论都视为已知条件,进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求学生变换思维方向,有利于培养学生的逆向思维能力.
开放型问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一,给学生留有较大探索余地的试题.一般有题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题.其中结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论,要求在给定的前提条件下,探索结论的多样性,然后通过推理证明确定结论;题设开放型探索性问题的特点是给出结论,不给出条件或条件残缺,需在给定结论的前提下,探索结论成立的条件,但满足结论成立的条件往往不唯一,答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的.就视为正确的;全开放型,题设、结论都不确定或不太明确的开放型探索性问题,与此同时解决问题的方法也具有开放型的探索性问题,需要我们进行比较全面深入的探索,才能研究出解决问题的办法来。
1. 条件开放型
这类题目的特点是给出了题目的结论,但没有给出满足结论的条件,并且这类条件常常是不唯一的,需要解题者从结论出发,通过逆向思维去判断能够追溯出产生结论的条件,并通过推理予以确认.这种条件探究性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件(未必是充要条件).解决此类问题的策略有两种,一种是将结论作为已知条件,逐步探索,找出结论成立所需的条件,这也是我们通常所说的"分析法";第二种是假设题目中指定的探索条件,把它作为已知,并结合其他题设进行推导,如果能正确推导出结论,则此探索条件就可以作为题设条件,直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答.
50.(每空1分,共4分)
(1)消费者 光合作用
(2)能量利用
(3)示例:①用沼液、沼渣做肥料,减少化肥用量;②用沼气做能源,减少化石燃料的使用;③避免焚烧秸秆造成的大气污染;④粪便等废气物入池,净化环境,减少疾病发生(答案不限于此,符合题意即给分)
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