[例1]AD为△ABC中BC边上的高,在AD上取一点E,使AE=DE,过E点作直线MN∥BC,交AB于M,交AC于N,现将△AMN沿MN折起,这时A点到A¢点的位置,且ÐA¢ED=60°,求证:A¢E⊥平面A¢BC.
[例2]如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平
面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,
求证:
(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥平面PBC;
(3)PC⊥平面AEF.
证明:(1)PA⊥平面ABC
|
AB⊥BC
PA∩AB=A
(2)AE平面PAB,
|
AE⊥PB
PB∩BC=B
(3)PC平面PBC,
|
PC⊥AF
AE∩AF=A
[例3]如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,ÐACB=90°,AC=1,CB=,侧棱AA1=1,侧面A A1 B1B的两条对角线交于点D,B1C1的中点为M,
求证:CD^平面BDM
证明:在直三棱柱中,又
∴平面,
∵,∴,
∴,
连结,则上的射影,也是CD的射影
在中,
在中,,
∴, ∴,
∴,
∴平面.
◆总结提练: 证线面垂直, 要注意线线垂直与线面垂直关系与它之间的相互转化
证线线垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂线定理或通过线面垂直.
[例4](2006浙江)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,, 底面,
且,分别为、的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求与平面所成的角.
解:(I)∵是的中点,,∴.
∵平面,∴,从而平面.
∵平面,∴.
(II)取的中点,连结、,则,
∴与平面所成的角和与面所成的角相等.
∵平面,
∴NG是BG在面ADMN内的射影,
是与平面所成的角.
在中,.
故与平面所成的角是.
6. .CD⊥平面α时射影面积最小;CD//α时射影面积最大.
6.(2006浙江)正四面体ABCD的棱长为l,棱AB∥平面,则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______.
◆答案提示:1-3.DBDA; 5. a∥d;
5.直线a,b,c 是两两互相垂直的异面直线,直线 d是b和c的公垂线,则d和a 的位置关系是______________.
4.已知P为Rt△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,D为斜边AB的中点,则直线PD与平面ABC. ( )
A.垂直 B.斜交 C.成600角 D.与两直角边长有关
3.直角△ABC的斜边BC在平面a内,顶点A在平面a外,则△ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边BC组成的图形只能是 ( )
A.一条线段 B.一个锐角三角形
C.一个钝角三角形 D.一条线段或一个钝角三角形
2.如果直线l⊥平面a,
①若直线m⊥l,则m∥a; ②若m⊥a,则m∥l;
③若m∥a,则m⊥l; ④若m∥l,则m⊥a,
上述判断正确的是 ( )
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.②④
1.已知a,b,c是直线,a,b是平面,下列条件中,能得出直线a⊥平面a的是( )
A.a⊥c,a⊥b,其中bÌa,cÌa B.a⊥b,b∥a
C.a⊥b,a∥b D.a∥b,b⊥a
6.三垂线定理:
平面内的直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和斜线垂直。
三垂线定理的逆定理:
平面内的直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直
用途:判定线线垂直=>线面垂直,二面角的平面角.
5.斜线、射影、直线和平面所成的角:定义--
性质:从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中
(1)垂线段最短;
(2)斜线段相等<=>射影相等;
(3)斜线段较长(短)<=>射影较长(短).
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