4、已知两个体积不同的圆柱,高相等,它们的底面半径的比是1∶2,那么它们的体积的比是　　　 　　

3、一个圆锥的体积是a立方米，则和它等底等高的圆柱体的体积是(　 )立方米。

　　 A. 　　　　B.　 2a　　 C.　 3a 　　　D.

2、甲乙两人分别利用一张长20厘米，宽15厘米的纸，用两种不同的方法围成一个圆柱体(接头处不重叠)，那么围成的圆柱(　　 )。

A.体积相等　　 　　　　　　　　B.用20厘米作为高的体积大

C. 用15厘米作为高的体积大　　 D. 无法比较

1、甲乙两人分别利用一张长20厘米，宽15厘米的纸，用两种不同的方法围成一个圆柱体(接头处不重叠)，那么围成的圆柱(　　 )。

A.高一定相等　　 　　　　　　B.侧面积一定相等　

　C. 侧面积和高都相等　　 　　　D. 侧面积和高都不相等

例1:圆锥底面半径为10，母线长为60，底面圆周上一点B沿侧面绕两周回到B点那么最短距离为

例2:已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．

(1)求圆柱的侧面积；

(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？

分析：(1)首先要画出圆锥的轴截面△OAB，那么内接圆柱的轴截面为矩形CDEF，因为内接圆柱的高知道为x，故关键求r，怎样求r？(生：

例3:如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足． 　　(1)求证：AF⊥DB； 　　(2)如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．

　 　　解析 本题中，圆柱是“外包装”，三棱锥D-ABE是“骨架”，核心问题是平面和平面、直线和平面、直线和直线的位置关系．解答过程中多次考查各种垂直关系的性质和判定，还有角的计算． 　　证明(1)DA⊥平面ABE，∴DA⊥BE，又AE⊥BE，∴BE⊥平面ADE， 　　 ∴DE是直线DB在平面ADE内的射影，由AF⊥DE及三垂线定理，知AF⊥DB． 　　(2)过E作EH⊥AB，H是垂足，连结OH，由平面ABCD⊥平面ABE，知EH⊥平面ABCD，则∠EDH为直线DE与平面ABCD所成的角． 　　设圆柱底面半径为R，则DA=AB=2R，于是，　 　　依题意：，得EH=R， 　　可知H是圆柱底面的圆心，∴AH=R，则， 　　∴，故所求角为．

例4: 设圆锥底面圆周上两点A，B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为___________．

解析　 本题考查直线与直线的位置关系及圆锥体积公式的应用．

如图，依题意，有AB=2，SO⊥底面圆O，SC⊥AB于C，则SC=，∴OC⊥AB，则OC=1 ∴SO=，OA= 　　∴

例5. 已知圆锥底面直径AB=2，轴截面∠APB=90°，底面半径OC⊥AB

(1)求二面角B-PA-C的正切值

(2)求圆锥内接圆柱的最大侧面积及相应的高

10． 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b.

(1)设E、F分别为AB₁、BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；

(2)求证：A₁C₁⊥AB；

(3)求点B₁到平面ABC₁的距离.

(1)证明：∵E、F分别为AB₁、BC₁的中点，

∴EF∥A₁C₁.∵A₁C₁∥AC，∴EF∥AC.　

　∴EF∥平面ABC.

(2)证明：∵AB=CC₁，

∴AB=BB₁.又三棱柱为直三棱柱，

∴四边形ABB₁A₁为正方形.连结A₁B，则A₁B⊥AB₁.

又∵AB₁⊥BC₁，

∴AB₁⊥平面A₁BC₁.　 ∴AB₁⊥A₁C₁.

又A₁C₁⊥AA₁，

∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁.　 ∴A₁C₁⊥AB.

(3)解：∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁∥平面ABC₁.

∴A₁到平面ABC₁的距离等于B₁到平面ABC₁的距离.过A₁作A₁G⊥AC₁于点G，　

　∵AB⊥平面ACC₁A₁，

∴AB⊥A₁G.从而A₁G⊥平面ABC₁，故A₁G即为所求的距离，即A₁G=.

评述：本题(3)也可用等体积变换法求解.

[探索题](2004年春季上海)如下图，点P为斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱BB₁上一点，PM⊥BB₁交AA₁于点M，PN⊥BB₁交CC₁于点N.

(1)求证：CC₁⊥MN；

(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.

(1)证明：∵CC₁∥BB₁CC₁⊥PM，CC₁⊥PN，

∴CC₁⊥平面PMNCC₁⊥MN.

(2)解：S²=S²+S² －2S·Scosα，

其中α为平面CC₁B₁B与平面CC₁A₁A所成的二面角.

∵CC₁⊥平面PMN，∴上述的二面角为∠MNP.

在△PMN中,

PM²=PN²+MN²－2PN．MNcos∠MNP

PM²CC₁²=PN²CC₁²+MN²CC₁²

－2(PN·CC₁)·(MN·CC₁)cos∠MNP.

∵=PN·CC₁，=MN·CC₁，

S=PM·BB₁，

∴S²=S²+S²－

2S·Scosα

9.正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起(如下图)，使A、C点重合于A′点.

(1)证明：A′D⊥EF；

(2)当F为BC的中点时，求A′D与平面DEF所成的角；

(3)当BF=BC时，求三棱锥A′-EFD的体积.

(1)证明：略

(2)解：取EF的中点G，连结A′G、DG…………

平面DEF⊥平面A′DG.

作A′H⊥DG于H，得A′H⊥平面DEF，

∴∠A′DG为A′D与平面DEF所成的角.

在Rt△A′DG中，A′G=，

A′D=2， ∴∠A′DG=arctan.

　(3)解：∵A′D⊥平面A′EF，

∴A′D是三棱锥D-A′EF的高.

又由BE=1，BF=推出EF=，可得S=，

V_A′－EFD=V_D－A′EF=·S·A′D

=··2=.

8．(2006福建)　　 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

(I)求证：平面BCD；

(II)求异面直线AB与CD所成角的大小；

(III)求点E到平面ACD的距离.

解法一：

(I)证明:证∠AOB=90⁰.

(II)解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角. 在中，

是直角斜边AC上的中线，

AB与CD所成角的大小为

(III)等积法得

即为所求.

7．如图ABCD是矩形，PA^平面ABCD，DPAD是等腰三角形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN^平面PCD

证略