7.(07重庆理综25)某兴趣小组设计了一种实验装置,用来研究碰撞问题,其模型如

右图所示.用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平

杆,球间有微小间隔,从左到右,球的编号依次为1、2、3…….N,球的质量依次递减,

每个球的质量与其相邻左球质量之比为k(k＜1).将1号球向左拉起,然后由静止释放,使

其与2号球碰撞,2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰.(不计空气阻力,忽略绳的伸长,g取10 m/s2)　

(1)设与n+1号球碰撞前,n号球的速度为vn,求n+1号球碰撞后的速度.　

(2)若N=5,在1号球向左拉高h的情况下,要使5号球碰撞后升高16h(16h小于绳长),问k值为多少？　

(3)在第(2)问的条件下,悬挂哪个球的绳最容易断,为什么？　

答案　 (1)　　 (2)0.414　　 (3)悬挂1号球的绳最容易断,原因见解

解析　 (1)设n号球质量为mn,n+1号球质量为mn+1,碰撞后的速度分别为v n′、vn+1′,取水平向右为正方向,据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为vn、0,且mn+1=kmn　

根据动量守恒定律,有mnvn=mnvn′n+kmnv n+1′　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ①　

根据机械能守恒定律,有

mnvn2=mnv n′2+kmnv n+1′2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ②　

由①②得v n+1′=(v n+1′=0舍去)　

设n+1号球与n+2号球碰前的速度为vn+1?　

据题意有vn+1=v n+1′

得vn+1=v n+1′=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ③　

(2)设1号球摆至最低点时的速度为v1,由机械能守恒定律有　

m1gh=m1v12　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　 ④　

解得v1=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤　

同理可求5号球碰后瞬间的速度　

v5=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

由③式得vn+1=nv1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦　

N=n+1=5时,v5=()4v1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧　

由⑤⑥⑧三式得　

k=-1≈0.414(k=--1舍去)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨　

(3)设绳长为l,每个球在最低点时,细绳对球的拉力为F,由牛顿第二定律有　

F-mng=mn　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑩　

则F=mng+mn=mng+2=mng+Ekn　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　

?式中Ekn为n号球在最低点的动能　

由题意可知1号球的重力最大,又由机械能守恒定律可知1号球在最低点碰前的动能也最大,根据式可判断在1号球碰撞前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大,故悬挂1号球的绳最容易断.　

6.(07四川理综25)目前,滑板运动受到青少年的追捧.如

图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面

内的示意图,赛道光滑,FGI为圆弧赛道,半径R=6.5 m,G为最低点并与水平赛道BC位于同一水平面,KA、DE平台的高度都为h=1.8 m,B、C、F处平滑连接.滑板a和b的质量均为m,m=5 kg,运动员质量为M,M=45 kg.表演开始,运动员站在滑板b上,先让滑板a从A点静止下滑,t1=0.1 s后再与b板一起从A点静止下滑.滑上BC赛道后,运动员从b板跳到同方向运动的a板上,在空中运动的时间t2=0.6 s(水平方向是匀速运动).运动员与a板一起沿CD赛道上滑后冲出赛道,落在EF赛道的P点,沿赛道滑行,经过G点时,运动员受到的支持力N=742.5 N.(滑板和运动员的所有运动都在同一竖直平面内,计算时滑板和运动员都看作质点,取g=10 m/s2)

(1)滑到G点时,运动员的速度是多大？　

(2)运动员跳上滑板a后,在BC赛道上与滑板a共同运动的速度是多大？　

(3)从表演开始到运动员滑至I的过程中,系统的机械能改变了多少？

答案　　 (1)6.5 m/s　　　 (2)6.9 m/s　　　　　　　 (3)88.75 J?　　

解析　　　 　 (1)在G点,运动员和滑板一起做圆周运动,设向心加速度为an,速度为vG,运动员受到重力 Mg、滑板对运动员的支持力N的作用,则

N-Mg=Man　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

an=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

即N-Mg=　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　 ③

vG=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

vG=6.5 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

(2)设滑板a由A点静止下滑到BC赛道后速度为v1,由机械能守恒定律有　

mgh=mv12　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

解得v1=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

运动员与滑板b一起由A点静止下滑到BC赛道后,速度也为v1.　

运动员由滑板b跳到滑板a,设蹬离滑板b时的水平速度为v2,在空中飞行的水平位移为s,则　

s=v2t2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　 ⑧　

设起跳时滑板a与滑板b的水平距离为s0,则　

s0=v1t1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　 ⑨　

设滑板a在t2时间内的位移为s1,则　

s1=v1t2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ⑩　

s=s0+s1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

即v2t2=v1(t1+t2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

运动员落到滑板a后,与滑板a共同运动的速度为v,由动量守恒定律　

mv1+Mv2=(m+M)v　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由以上方程可解出　

v=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

代入数据,解得v=6.9 m/s?　　　　　　　　　　　　　　　　

(3)设运动员离开滑板b后,滑板b的速度为v3,有　

Mv2+mv3=(M+m)v1　

可算出v3=-3 m/s,有|v3|=3 m/s＜v1=6 m/s,b板将在两个平台之间来回运动,机械能不变.　

系统的机械能改变为　

?ΔE=(M+m)vG2+mv32-(m+m+M)gh　

故ΔE=88.75 J

5.(07四川理综18)如图所示,弹簧的一端固定在竖直墙上,质量为m的光滑

弧形槽静止在光滑水平面上,底部与水平面平滑连接,一个质量也为m的小球

从槽高h处开始自由下滑　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.在以后的运动过程中,小球和槽的动量始终守恒　

B.在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功　

C.被弹簧反弹后,小球和槽都做速率不变的直线运动　

D.被弹簧反弹后,小球和槽的机械能守恒,小球能回到槽高h处

答案　　 C?

解析　 小球与槽组成的系统在水平方向动量守恒,由于小球与槽质量相等,分离后小球和槽的速度大小相等,小球与弹簧接触后,由能量守恒可知,它将以原速率被反向弹回,故C项正确.

4.(07重庆理综17)为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强,小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台,测得1小时内杯中水位上升了45 mm.查询得知,当时雨滴竖直下落速度约为12 m/s.据此估算该压强约为(设雨滴撞击睡莲后无反弹,不计雨滴重力,雨水的密度为1×103 kg/m3?)　

A.0.15 Pa　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 B.0.54 Pa　　　　　　　　　　　　 C.1.5 Pa　　　　　　　　　　　 D.5.4 Pa?　

答案　 A

解析 　设圆柱形水杯的横截面积为S,则水杯中水的质量为m=ρV=103×45×10-3S=45S,由动量定理可得：Ft=mv,而p=,所以p== Pa=0.15 Pa.

3.(07北京理综20)在真空中的光滑水平绝缘面上有一带电小滑块.开始时滑块静止.若在滑块所在空间加一水平匀强电场E1,持续一段时间后立刻换成与E1相反方向的匀强电场E2.当电场E2与电场E1持续时间相同时,滑块恰好回到初始位置,且具有动能Ek.在上述过程中,E1对滑块的电场力做功为W1,冲量大小为I1;E2对滑块的电场力做功为W2,冲量大小为I2.则　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (　　 ) ?A.I1=I2　　　　　　　　　　 B.4I1=I 2　　　　　 　　　 C.W1=0.25Ek,W2=0.75Ek?　　　　　　　　　　 D.W1=0.20Ek,W2=0.80Ek

答案　 C

解析　 电场为E1时滑块的加速度为a1,电场为E2时滑块的加速度为a2,两段相同时间t内滑块运动的位移大小相等,方向相反,第一个t内的位移s1=a1t2,第二个t内的位移s2=v1t-a2t2=a1t·t-a2t2=a1t2-a2t2,由s1=-s2得:a2=3a1,即:E2=3E1,所以I1=E1qt,I2=E2qt,则I2=3I1,故A、B错误.W1=E1qs,W2=E2qs,而W1+W2=Ek,所以

W1=0.25Ek,W2=0.75Ek,故C对,D错.

2.(07全国卷II 16)如图所示, PQS是固定于竖直平面内的光滑的　 圆周轨道,圆心O

在S的正上方.在O和P两点各有一质量为m的小物块a和b,从同一时刻开始,a自

由下落,b沿圆弧下滑.以下说法正确的是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(　　 )

A.a比b先到达S,它们在S点的动量不相等

B.a与b同时到达S,它们在S点的动量不相等

C.a比b先到达S,它们在S点的动量相等

D.b比a先到达S,它们在S点的动量相等

答案　 A

解析　 a自由下落,b沿圆弧下滑,a比b先到达S,二者下落高度相同,由机械能守恒定律可知,二者到达S时速度大小相同,故动量不同,A项正确.

1．(07全国卷I 18)如图所示,在倾角为30°的足够长的斜面上有一质量为m的

物体,它受到沿斜面方向的力F的作用.力F可按图(a)、(b)、(c)、(d)所示的四

种方式随时间变化(图中纵坐标是F与mg的比值,力沿斜面向上为正.)　

已知此物体在t=0时速度为零,若用v1、v2、v3、v4分别表示上述四种受力情况下物体在3秒末的速率,则这四个速率中最大的是　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(　　 )　

?

A.v1　　　　　　　　　　 B.v2　　　　　　　　　　 C.v3　　　　　　　 ?　 D.v4　

答案　 C

解析　 图(a)中,合力的冲量为Ia=Ft1+Ft2-mgsin 30°·t=-0.5 mg×2+0.5 mg×1-0.5 mg×3=-2 mg;图(b)中,合力的冲量为Ib=Ft1+Ft2+Ft3-mgsin 30°·t=-1.5 mg;图(c)中,合力的冲量为Ic=Ft1+Ft2-mgsin 30°t=

-2.5 mg;图(d)中,合力的冲量为Id=Ft1+Ft2-mgsin 30°·t=-1.5 mg,由于图(c)情况下合力的冲量最大,故v3是最大的.

8.(08广东20)如图所示,固定的凹槽水平表面光滑,其内放置U形滑板N,

滑板两端为半径R=0.45 m的1/4圆弧面,A和D分别是圆弧的端点,BC

段表面粗糙,其余段表面光滑,小滑块P1和P2的质量均为m,滑板的质量

M=4m.P1和P2与BC面的动摩擦因数分别为μ1=0.10和μ2=0.40,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,开始时滑板紧靠槽的左端,P2静止在粗糙面的B点.P1以v0=4.0 m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下,与P2发生弹性碰撞后,P1处在粗糙面B点上,当P2滑到C点时,滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连,P2继续滑动,到达D点时速度为零,P1与P2可视为质点,取g=10 m/s2.问：　

(1)P2在BC段向右滑动时,滑板的加速度为多大？　

(2)BC长度为多少？N、P1和P2最终静止后,P1与P2间的距离为多少？　

答案　 (1)0.8 m/s2　　　 (2)1.9 m?0.695 m?　

解析　 (1)将N、P1看作整体,根据牛顿第二定律得：　

μ2mg=(M+m)a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　

a= m/s2=0.8 m/s2　　　　　　　　　　　　　 ②　

(2)设P1到达B点的速度为v,P1从A点到达B点的过程中,根据动能定理有：　

mgR=mv2-mv02　　　　　 `　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③　

代入数据得v=5 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　

因P1、P2质量相等且发生弹性碰撞,所以碰后P1、P2交换速度,即碰后P2在B点的速度为：　

vB=5 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

设P2在C点的速度为vC,P2从C点到D点过程中根据动能定理得：　

-mgR=-mvC2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

代入数据得vC=3 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　 ⑦　

P2从B点到C点的过程中,N、P1、P2作为一个系统所受合外力为零,系统动量守恒,设P2到达C点时N和P1的共同速度为v′.根据动量守恒定律得：　

mvB=mvC+(M+m)v′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧　

v′为滑板与槽的右端粘连前滑板和P1的共同速度.由动能定理　

-μ2mgL2=mvC2-mvB2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨　

μ2mgLN=(M+m)v′2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑩　

L2和LN分别为P2和滑板对地移动的距离,联立⑧⑨⑩得BC长度　

l=L2-LN=1.9 m　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

滑板与槽粘连后,P1在BC上移动的距离为l1　

-μ1mgl1=0-mv12　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?

P2在D点滑下后,在BC上移动的距离l2

mgR=μ2mgl2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

联立　　　　 得系统完全静止时P1与P2的间距Δl=l-l1-l2=0.695 m.

2004-2007年高考题

题组一

7.(08广东19)如图(a)所示,在光滑绝缘水平面的AB区域内存在水平向右的电场,电场强度E随时间的变化如图(b)所示,不带电的绝缘小球P2静止在O点.t=0时,带正电的小球P1以速度v0从A点进入AB区域,随后与P2发生正碰后反弹,反弹速度大小是碰前的倍,P1的质量为m1,带电荷量为q,P2的质量m2=5m1,A、O间距为L0,O、B间距L=.已知,T=.

(1)求碰撞后小球P1向左运动的最大距离及所需时间.　

(2)讨论两球能否在OB区间内再次发生碰撞.　

答案　 (1)L0　　　 T(2)能再次发生碰撞　

解析　 (1)因为T=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

所以0-T时间内P1做匀速直线运动,T s末恰好到达O点,与P2发生正碰.

假设碰撞后P1向左移动时始终处在匀强电场中,向左运动的最大距离为s,时间为t.根据动能定理得　

-qE0s=0-m1(v0)2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

s=L0<L0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

根据匀变速直线运动的规律知　

s=·v0·t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ④

t==T<4T　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

由③⑤知,题意假设正确,P1向左运动的最大距离为L0,所需时间为T.

(2)设P1、P2碰撞后P2的速度为v,以向右为正方向,根据动量守恒定律得　

m1v0=m1(-v0)+5m1v　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

则v=v0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦　

假设两球能在OB区间内再次发生碰撞,设P1、P2从第一次碰撞到再次碰撞的时间为t′(碰后P2做匀速直线运动)　

-v0t′+·t′2=v0 t′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　 ⑧

则t′==3T<4T　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨

P1、P2从O点出发到再次碰撞时的位移　

s1=v0t′=v­0·=L0<L　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑩

由⑨⑩知,题意假设正确,即两球在OB区间内能再次发生碰撞.

6.(08天津理综24)光滑水平面上放着质量mA=1 kg的物块A与质量mB=2 kg的

物块B,A与B均可视为质点,A靠在竖直墙壁上,A、B间夹一个被压缩的轻弹簧

(弹簧与A、B均不拴接),用手挡住B不动,此时弹簧弹性势能EP=49 J.在A、B间系一轻质细绳,细绳长度大于弹簧的自然长度,如图所示.放手后B向右运动,绳在短暂时间内被拉断,之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道,其半径R=0.5 m,B恰能到达最高点C.取g=10 m/s2,求　

(1)绳拉断后瞬间B的速度vB的大小;　

(2)绳拉断过程绳对B的冲量I的大小;　

(3)绳拉断过程绳对A所做的功W.　

答案　 (1)5 m/s　　 　　　　　 (2)4 N·s?　　　　　 (3)8 J?　

解析　 (1)设B在绳被拉断后瞬间的速度为vB,到达C时的速度为vC,有mBg=mB 　　①

mBvB2=mBvC2+2mBgR　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 ②

代入数据得vB=5 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 `　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

(2)设弹簧恢复到自然长度时B的速度为v1,取水平向右为正方向,有Ep=mBv12　　　　　　　　　　 ④

I=mBvB-mBv1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

代入数据得I=-4 N·s,其大小为4 N·s?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

(3)设绳断后A的速度为vA,取水平向右为正方向,有mBv1=mBvB+mAvA　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

W=mAvA2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧

代入数据得W=8 J　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨