13.已知椭圆C:(),其离心率为,两准线之间的距离为。(1)求之值;(2)设点A坐标为(6, 0),B为椭圆C上的动点,以A为直角顶点,作等腰直角△ABP(字母A,B,P按顺时针方向排列),求P点的轨迹方程。
解:(1)设c为椭圆的焦半径,则. ……………………(5分)
于是有a=5,b=3.
(2) 解法一:设B点坐标为,P点坐标为.于是有
因为,所以有. (A1 )
又因为ABP为等腰直角三角形,所以有 AB=AP,即
. (A2 ) …………(10分)
由(A1)推出,代入(A2),得 ……(15分)
从而有 ,即(不合题意,舍去)或.
代入椭圆方程,即得动点P的轨迹方程 …………(20分)
解法二: 设,,则以A为圆心,r为半径的圆的参数方程为
.
设AB与x轴正方向夹角为,B点的参数表示为, …………(10分)
P点的参数表示为.
从上面两式,得到. ……………………(15分)
又由于B点在椭圆上,可得. ……………………(20分)
此即为P点的轨迹方程.
12.在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点,使沿线段DE折叠三角形时,顶点A正好落在边BC上.AD的长度的最小值为 .
解:设,作△ADE关于DE的对称图形,A的对称点G落在BC上.在△DGB中,
当时,即.
11.已知,直线与
的交点在直线上,则 .
解:由已知可知,可设两直线的交点为,且为方程
,
的两个根,即为方程
的两个根.因此
,
即0.
10. 设实系数一元二次方程有两个相异实根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则的取值范围是 .
解: 根据题意,设两个相异的实根为,且,则
,.
于是有 ,也即有
.
故有,即取值范围为.
9.设,则.
解: .
8.设为非负实数,满足,则
= .
解:显然,由于,有
.于是有,故
.
7.= .
解:根据题意要求,,.于是有.因此
.因此答案为 1.
6.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP,则P点形成的轨迹的长度为( )
A. B. C. 3 D.
解:建立空间直角坐标系.设A(0,-1,0), B(0,1,0),, ,P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP,所以
,即,此为P点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长度为. 因此 选 B.
5.已知是偶函数,则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是( )
A. B. 2 C. D. 4
解:由已知条件可知,,函数图象与轴交点的纵坐标为.令,则
.因此 选 A.
4.已知P为三角形ABC内部任一点(不包括边界),且满足,则△ABC一定为( )
A.直角三角形;B. 等边三角形;C. 等腰直角三角形;D. 等腰三角形
解:因为,所以已知条件可改写为.容易得到此三角形为等腰三角形. 因此 选 D.
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