2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．

函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：

1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．

例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为(　　 ).

(A)　　　 (B)　　　 (C)5　　　 (D)6

分析及解：设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得：

　2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为,因此需将对称式写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故=6²-11=25

∴　 ,应选C.

例2．设F₁和F₂为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂=90°,则ΔF₁PF₂的面积是(　　 ).　　　　　　　 　

(A)1　　　 (B)　　 (C)2　　　 (D)

分析及解：欲求　　 (1),而由已知能得到什么呢？

由∠F₁PF₂=90°,得　　 (2),

又根据双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=4　　　 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即,

故∴　 ,∴　 选(A).

注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.

例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.

分析及解：由题意可设双曲线方程为,∵,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成：　 (1),故只需求出a可求解.

设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|=　 (2),∵点Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|=　 (3),此时|PQ|²表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.

由(3)式有(y≥a或y≤-a).

二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域y≥a或y≤-a,因此,需对a≤4与a>4分类讨论.

(1)当a≤4时,如图(1)可知函数在y=4处取得最小值,

∴令,得a²=4

∴所求双曲线方程为.

(2)当a>4时,如图(2)可知函数在y=a处取得最小值,

∴令,得a²=49,

∴所求双曲线方程为.

注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.

例4．设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又,试求f(x)的表达式.

分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.

设一次函数y=f(x)=ax+b　 (a>0),可知　 ,

∴.

比较系数可知：　　

解此方程组,得　 ,b=2,∴所求f(x)=.

例5．如图,已知在矩形ABCD中,C(4,4),点A在曲线(x>0,y>0)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.

分析及解：设A(x,y),如图所示,则(4-x)(4-y)　　　　　 (1)

此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢？有的同学想到由已知得x²+y²=9,如何利用此条件？是从等式中解出x(或y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.

如果我们将(1)式继续变形,会得到S=16-4(x+y)+xy　 　　　　　　(2)

这时我们可联想到x²+y²与x+y、xy间的关系,即(x+y)²=9+2xy.

因此,只需设t=x+y,则xy=,代入(2)式得　　 S=16-4t+(3)S表示为变量t的二次函数,

∵0<x<3,0<y<3,∴3<t<,∴当t=4时,S_ABCD的最小值为.

此时

注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.

例6．设方程x²+2kx+4=0的两实根为x₁,x₂,若≥3,求k的取值范围.

解：∵≥3,

以,代入整理得(k²-2)²≥5,又∵Δ=4k²-16≥0,

∴解得k∈(-)∪[,+].

例7．点P(x,y)在椭圆上移动时,求函数u=x²+2xy+4y²+x+2y的最大值.

解：∵点P(x,y)在椭圆上移动,　 ∴可设　　 于是

　　　　　 =

　　　　　 =

　　 令,　　 ∵,∴|t|≤.

　　 于是u=,(|t|≤).

　　 当t=,即时,u有最大值.

　　 ∴θ=2kπ+(k∈Z)时,.

例8．过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角.

解：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

　　 直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方

程整理得 　(*)

由韦达定理,(1),(2)

　　 又F(1,0)且AF⊥BF,∴,　　 即　 ,

　　 将,代入上式整理得　 ,

　　 将(1)式,(2)式代入,解得　 .　　 故直线l的倾斜角为或.

注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解.

例9．设集合A={}

(1)若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B；

(2)当a∈B时,不等式x²-5x-6<a(x-4)恒成立,求x的取值范围.

解：(1)令t=2^x,则t>0且方程化为t²-2t+a=0　 (*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=t²-2t+a,

则Δ=0　 或即a=1或a≤0,从而B=(-,0]∪{1}.

(2)当a=1时,<x<3+,

当a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x²-5x-6),则当a≤0时不等式　 恒成立,

即当a≤0时,g(a)>0恒成立,故　 ≤4.

综上讨论,x的取值范围是(,4).

配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.

配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.

待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.

换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.

2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。

1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。

例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是　　　　　　　 (　 )

A. m>N　　　 　B. m<N　　 　　C.m=N　　 　　D.无法确定

[分析]每月的利润组成一个等差数列{a_n}，且公差d＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b_n}，且公比q＞1。，且，比较与的大小。

若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式a_n=a₁+(n-1)d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式b_n=a₁q^n-1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。

在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出a_i≥b_i 　则＞，即m＞N。

[点评]把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。

例2．如果，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P-ABC的体积．

分析：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S_△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．

解：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以

V_P－ABC=V_P－ECD+V_A－ECD=S_△ECD•AE+S_△ECD•PE=S_△ECD •PA=•BC·ED·PA=． 　 评注：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解．

例3．在的展开式中x的系数为( )．

(A)160　　　　　　 (B)240　　　　　　　 (C)360　　　　　 (D)800

分析与解：本题要求展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的计算用上述两种思路进行转化：

思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则展开式是一个关于x的10次多项式， =(x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选 择常数项2相乘得到，故为·(3x)··2⁴=5×3×16x=240x，所以应选(B)．

思路2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，∵x²+3x+2=x²+ (3x+2)=(x²+2)+3x=(x²+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法．①如利用x²+3x+2=x²+(3x+2)转化，可以发现只有(3x+2)⁵中会有x项，即(3x)·2⁴=240x，故选(B)；②如利用x²+3x+2= (x²+2)+3x进行转化，则只 (x²+2) ⁴·3x中含有x一次项，即·3x·C₄⁴·2⁴=240x；③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化，就只有·(x²+3x)·2⁴中会有x项，即240x；④如选择x²+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化，=×展开式中的一次项x只能由(1+x)⁵中的一次项乘以(2+x)⁵展开式中的常数项加上(2+x)⁵展开式中的一次项乘以(1+x)⁵展开式中的常数项后得到，即为x·2⁵+•2⁴•x••1⁵=160x+80x=240x，故选(B)．　

评注：化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。

例4．若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围。

解：　　　

令，则要使它对均有，只要有

　　　　 或。

点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。

4．化归与转化应遵循的基本原则：

(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。

(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。

(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。