2.导数的几何意义.

1.曲线的切线及切线的斜率.

2.求曲线在点处的切线.

1.求曲线在点处的切线.

例1 (1)求曲线在点处的切线方程.

(2)求函数在点处的导数.

解: (1)

所以,所求切线的斜率为

因此,所求的切线方程为即

(2)因为

所以,所求切线的斜率为,

因此,所求的切线方程为即

例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.

解: 我们用曲线在、、处的切线,

刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.

(1)　 当时,曲线在处的切线平行于轴,

所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.

(2)当时,曲线在处的切线的斜率,

所以,在附近曲线下降,

即函数在附近单调递减.

(3)当时,曲线在处的切线的斜率,

所以,在附近曲线下降,

即函数在附近单调递减．

从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,

这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.

例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).

解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,

从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.

如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,

可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.

作处的切线,并在切线上去两点,如,,

则它的斜率为,所以

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

	0.2	0.4	0.6	0.8
药物浓度瞬时变化率	0.4	0	-0.7	-1.4

(四)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系

(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.

(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.

(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.

(三)导函数

由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.

记作:或,即.

注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

(二)导数的几何意义

函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,

即

说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出点的坐标;

②求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;

③利用点斜式求切线方程.

(一)曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？

我们发现,当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.

问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？

　　　 (2)切线的斜率为多少？

容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即

说明: (1)设切线的倾斜角为,

那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

　　　　 ②切线斜率的本质-函数在处的导数.

(2)曲线在某点处的切线:

1)与该点的位置有关;

2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;

3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.

(二)瞬时速度、导数

我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？