2．特点

(1)各点电势相等．

(2)等势面上任意两点间的电势差为零．

(3)电荷沿着等势面运动，电场力不做功．

(4)处于静电平衡状态的导体是一个等势体，其面为等势面．

(5)匀强电场，电势差相等的等势面间距离相等，点电荷形成的电场，电势差相等的等势面间距不相等，越向外距离越大．

(6)等势面上各点的电势相等但电场强度不一定相等．

(7)电场线跟等势面垂直，且由电势高的面指向电势低的面

(8)两个等势面永不相交．

[例3]如图所示，匀强电场中的一组等势面，A、B、C、D相邻间距离为2cm，则场强 E＝　　　　　　 ；离A点1．5cm的P点电势为　　　　　　　 V．

　解析：E=U/S_ABsin60⁰=1000/3V／m

　 U_Bp＝E·S_BPsin60⁰＝1000/3×0．5×10^－2×/2V＝2．5V

　BP之间电势差为2．5V，由于U_P＜U_B，　　 所以 U_p=－2．5 V

　　 点评：在我们应用U=Ed公式时一定要注意d是沿着电场线方向的距离，或者说是两等势面间的距离．

[例4]如图所示，实线为匀强电场中的电场线，虚线为等势面，且相邻等势面间的电势差相等。一正点电荷在等势面A处的动能为20J，运动到等势面C处的动能为零。现取B等势面为零电势能面，则当此电荷的电势能为20J时的动能是　　　　　 J。(不计重力和空气阻力)

解析：设相邻等势面间的电势差为△U，根据动能定理，电荷从等势面A运动到C的过程中　 q△U＝0-20………………①

电荷从等势面A运动到B的过程中　　 q△U＝E_KB一20…………②

联立①②得E_KB＝10J

又电荷仅受电场力在电场中运动时，根据运动定理：　 W_AB＝E_KB一E_KA…………③

根据电场力做功与电势能变化的关系 w_AB＝ε_A一ε_B…………④

联立③④得，ε_A+E_KA＝ε_B+E_KB＝恒量

又在B点ε_B ＝0所以E_K+2＝0+10,　　　 解出E_K＝8J

点评：讨论静电场中电荷运动的能量关系，一般都应用动能定理，但注意电势能的变化只由电场力做功决定，与其他力是否做功无关。

[例5]如图所示，直角三角形的斜边倾角为30⁰，底边BC长为2L，处在水平位置，斜边AC是光滑绝缘的，在底边中点O处放置一正电荷Q，一个质量为m、电量为 q的带负电的质点从斜面顶端A沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D时速度为v。(将(1)，(2)题正确选项前的标号填在题后括号内)

(1)在质点的运动中不发生变化的是

①动能；②电势能与重力势能之和；③动能与重力势能之和；④动能、电势能。重力势能三者之和。

　　 A、①②　 B．②③ C\④　　 D，②

(2)质点的运动是

A．匀加速运动；　 　B．匀减速运动；　 C．先加速后匀减速的运动；　　 D．加速度随时间变化的运动

(3)该质点滑到非常接近斜边底端C点时速率v_c为多少？沿斜面向下的加速度a_c为多少？

解析:斜面光滑，表明无摩擦力的作用，粒子在重力、电场力、斜面弹力三者的作用下运动。重力场与静电场均是保守力场，因此在整个运动中应该是动能、电势能、重力势能三者之和为一不变量，因此第(1)题选C。

若O点应电荷O不存在，则粒子在斜面上的运动是匀加速运动，现在粒子还处在静电场中，随着粒子运动，电场力的大小、方向是逐渐变化的，因而粒子总的来说是在变力的作用下运动。由牛顿第二定律，粒于运动的加速度也是变化的，这样第(2)个选择(D)，质点的运动是加速度随时间变化的运动。

质点受三个力作用，电场力f=kQq/L²，方向由C指向O点(库仑吸引)；重力 mg，方向竖直向下；支持力N，方向垂直于斜面向上。由牛顿第二定律

mgsinθ一fcosθ=ma_c，即mgsin30⁰一kQq/L²cos30⁰=ma_C，简化得a_C=½g－kQq/2mL²

在斜面整个运动过程中电势能、动能、重力势能三者的和不变，已知质点运动到D点的速度V，则D点的电势能可求出，从几何关系容易发现，B、C、D分别到O点的距离是相等的，则BD=BC/2=BO=OC=OD，B、C、D三点在以O为圆心的同一圆周上，是O点处点电荷Q产生的电场中的等势点，所以，q由D到C的过程中电场力作功为零，由机械能守恒定律，得mgh=½mv_C²一½mv²……①，其中h为质点在D点的高度,h=BDsin60⁰=BCsin30⁰　 sin60⁰=2L ×½×/2=L/2，得v_C＝……②，

规律方法　　 1、一组概念的理解与应用

电势、电势能、电场强度都是用来描述电场性质的物理，，它们之间有+分密切的联系，但也有很大区别，解题中一定注意区分，现列表进行比较

(1)电势与电势能比较：

(2)电场强度与电势的对比

[例6]如图所示，在水平桌面上放置一个由两根绝缘组成的“V”形竖直导轨，棒上各穿上一个可沿棒无摩擦滑动的，质量为m＝40g，带电量为q＝2×10^-6C的正电荷小球(可当作点电荷)，将小球从同高度的力、B由静止释放(g＝10m/s²)

(1)两球相距多远时速度达到最大？

(2)两球同时到达最高点时相距 L=1．8m，此时系统电势能比释放时少多少？

[解](1)设两球相距L₁时速度达到最大，此时合力为零。其中一个小球受力如图所示，F_A为A球受库仑力．则：

　　 F_A=mgtg45⁰＝mg…………………①

　　 由库仑定律：F_A=kq₁q₂/L₁²………②

　　 由①、②得：

(2)两球达最高点时速度为零，设释放时离桌面高度为h₁，最高点时离桌面高度为h₂，则两球在上升过程的能量变化情况为：动能的变化ΔE_K＝0，重力势能的变化量ΔE_P＝2mg(h₂－h_l)。设电势能变化量为Δε，则由能的转化和守恒定律知：ΔE_K十ΔE_P+Δε＝0则：Δε＝－mg(h₂－h_l)＝－2×40×10^-3×10×(L/2tg45⁰－0．05)=－0．68(J)。　　 即系统的电势能减少了0．68J。

1．电场中电势相等的点所组成的面为等势面．

3．电场力做功：W=qU，U为电势基，q为电量．

　　 重力做功：W＝Gh，h为高度差，G为重量．

　　 电场力做功跟路径无关，是由初末位置的电势差与电量决定

重力做功跟路径无关，是由初末位置的高度差与重量决定．

[例1]关于电势与电势能的说法正确的是(　　　　 )

A．电荷在电场中电势高的地方电势能大

B．在电场中的某点，电量大的电荷具有的电势能比电量小的电荷具有的电势能大

C．正电荷形成的电场中，正电荷具有的电势能比负电荷具有的电势能大

D．负电荷形成的电场中，正电荷具有的电势能比负电荷具有的电势能小

解析：正电荷在电势高处的电势能比电势低处的电势能大，负电荷则反之，所以A错．当具有电势为正值时，电量大的电荷具有的电势能大于电量小的电荷具有的电势能，当电势为负值，恰好相反，所以B错．正电荷形成的电场中，电势为正值，这样电势与正电荷的电量来积为正值，而负电荷在正电荷形成的电场中电势能为负值，因此C正确．负电荷形成的电场中，电势为负值，因而正电荷具有的电势能为负值，负电行具有的电势能为正值，所以D正确．　　 答案：CD

点评：关于电势的正负与电势的高低参看下图8一31所示，A、B带等量的异种电荷，AO区间是正电荷形成的电场，OB区间是负电荷形成的电场．

[例2]将一电量为一2×10^－8C的点电荷，从零电势S点移到电场中的M点，反抗电场力做功4×10^－8J，则U_M=　　　　　 ；若将该电荷从M点移到N点，电场力做功14×10^－8J，则N点电势U_N＝　　　　　　　 ；M、N两点电势差为　　　　　　　 ．

解析：U_M=W/q=4×10^－8/2×10^－8=2V．由于是负电荷反抗电场力做功，所以是顺着电场线移动，M点电势为负．所以U_M=一2V．U_N=14×10^－8/2×10^－8＝7V．由于是电场力做功，所以负电荷是逆着电场线方向移动，N点电势比M点电势高7V，这样N点电势比S点高5V，所以U_N＝5V．

点评：(1)求某点电势可先求出电势差，然后根据电势差和电场力做功情况再求出该点电势．

(1)　　　 应牢记：电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加．

2．电势能的变化：电场力做正功电势能减少；电场力做负功电势能增加．

　　 重力势能变化：重力做正功重力势能减少；重力做负功重力势能增加．

1．电势能：电场中电荷具有的势能称为该电荷的电势能．电势能是电荷与所在电场所共有的。

某点相对零电势的电势差叫做该点的电势，是标量．在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功.由电场本身因素决定，与检验电荷无关。

点评：类似于重力场中的高度．某点相对参考面的高度差为该点的高度．

注意：(1)高度是相对的．与参考面的选取有关，而高度差是绝对的与参考面的选取无关．同样电势是相对的与零电势的选取有关，而电势差是绝对的，与零电势的选取无关．

(2)一般选取无限远处或大地的电势为零．当零电势选定以后，电场中各点的电势为定值．

(3)电场中A、B两点的电势差等于A、B的电势之差,即U_AB=φ_A－φ_B,沿电场线方向电势降低.

3、 电场线的理解和应用

[例11]如图所示，一电子沿等量异种电荷的中垂线由A-O-B匀速飞过，电子重力不计，则电子所受另一个力的大小和方向变化情况是

A．先变大后变小，方向水平向左　 B．先变大后变小，方向水平向右

C．先变小后变大，方向水平向左　 D．先变小后变大，方向水平向右

[分析]由等量异种电荷电场线分布可知，从A到O，电场由疏到密；从O到B，电场线由密到疏，所以从A-O-B，电场强度应由小变大，再由大变小，而电场强度方向沿电场切线方向，为水平向右。由于电子处于平衡状态，所受合外力必为零，故另一个力应与电子所受电场力大小相等方向相反。电子受的电场力与场强方向相反，即水平向左，电子从A-O-B过程中，电场力由小变大，再由大变小，故另一个力方向应水平向右，其大小应先变大后变小，所以选项B正确。

试题展示

散　　　　　 电场能的性质

知识简析　 一、电势差

电荷从电场中的一点移到另一点，电场力做的功跟其电量的比值叫做这两点的电势差，U=W/q，是标量．

点评：电势差很类似于重力场中的高度差．物体从重力场中的一点移到另一点，重力做的功跟其重量的比值叫做这两点的高度差h＝W/G．

2、 电场强度的理解和应用

[例8]长木板AB放在水平面上如图所示，它的下表面光滑而上表面粗糙，一个质量为m、电量为q的小物块C从A端以某一初速起动向右滑行。当存在向下的匀强电场时，C恰能滑到B端，当此电场改为向上时，C只能滑到AB的中点，求此电场的场强。

[解析]当电场方向向上时，物块c只能滑到AB中点，说明此时电场力方向向下，可知物块C所带电荷的电性为负。

电场方向向下时有：μ(mg－qE)L=½mv₀²一(m+M)v²　　 mv₀=( m十M)v　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　

电场方向向上时有：μ(mg+qE)L/2=½mv₀²一(m+M)v²，　 mv₀=( m十M)v

则mg－qE =(mg+qE)，得E＝mg/3q

[例9]如图在场强为E的匀强电场中固定放置两个带电小球1和2,它们的质量相等，电荷分别为q₁和－q₂．(q₁≠q₂)．球1和球2的连线平行于电场线，如图．现同时放开1球和2球，于是它们开始在电场力的作用下运动，如果球1和球2之间的距离可以取任意有限值，则两球刚被放开时，它们的加速度可能是( ABC )

A、大小不等，方向相同；　　 B、大小不等，方向相反；

C、大小相等，方向相同；　　 D、大小相等，方向相反；

解析：球1和球2皆受电场力与库仑力的作用,取向右方向为正方向,则有由于两球间距不确定,故F_库不确定

若q₁E－F_库>0, F_库－q₂E>0,且q₁E－F_库≠F_库－q₂E,则A正确;

若q₁E－F_库>0, F_库－q₂E <0,且q₁E－F_库≠F_库－q₂E ,则B正确;

若q₁E－F_库=F_库－q₂E ,则C正确;

若q₁E－F_库≠F_库－q₂E ,则q₁= q₂与题意不符,D错误;

[例10]半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m，带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图所示，珠子所受静电力是其重力的3/4,将珠子从环上最低位置A点由静止释放，则珠子所能获得的最大动能E_k为多少？

解析：设该珠子的带电量为q,电场强度为E.珠子在运动过程中受到三个力的作用，其中只有电场力和重力对珠子做功，其合力大小为：

设F与竖直方向的夹角为θ,如图所示,则

　　 把这个合力等效为复合场，此复合场为强度此复合场与竖直方向夹角为θ,珠予沿园环运动，可以类比于单摆的运动，运动中的动能最大位置是“最低点”,由能的转化及守恒可求出最大的动能为：E_km=mg/r(1－cosθ)

思考：①珠子动能最大时对圆环的压力多大？

　　 ②若要珠子完成一个完整的圆周运动，在A点释放时，是否要给珠子一个初速度？

9．电场线不是电荷运动的轨迹．

[例2]在匀强电场中，将质量为m，带电量为q的小球由静止释放，带电小球的运动轨迹为一直线，该直线与竖直方向的夹角为θ，如图所示，则电场强度的大小为( B )

A．有唯一值mgtanθ／q ；　　 B．最小值是mgsinθ／q；

C·最大值mgtanθ／q；　　　　 D·mg/q

　提示：如附图所示，利用三角形法则，很容易判断出AB跟速度方向垂直．

规律方法　　 1、库仑定律的理解和应用

[例3]如图所示，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上．a和c带正电，b带负电，a所带电量的大小比b的小．已知c受到a和b的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是

A．F₁　 　　　　 B．F₂C．F₃ D．F₄

[解析] a对c为斥力，方向沿ac连线背离a；b对c为引力，方向沿bc连线指向b．由此可知，二力的合力可能为F₁或F₂．又已知b的电量比a的大，由此又排除掉F₁，只有F₂是可能的．[答案] B

[例4]两端开口，横截面积为S，水平放置的细玻璃管中，有两个小水银滴，封住一段长为L₀的空气柱，当给小水银滴带上等量的异种电荷时，空气柱的长度为L，设当时大气压强为P₀，小水银滴在移动过程中温度不变，小水银滴大小可忽略不计，试求：

①稳定后，它们之间的相互作用力。②小水银滴所带电量的大小？

解析：小水银滴所受的库仑力为内外气体压力之差。设外界大气压强为P₀，小水银滴带上等量异种电荷时，被封闭气体的压强为P，则由玻意耳定律得：P₀L₀S=PLS即P/ P₀= L₀/L

ΔP/ P₀=(L₀－L)/L，又ΔP=P－P ₀=F_电/S，即F_电= P₀S(L₀－L)/L

再由库仑定律得：F_电=KQ²/L² 　可得Q=·L=

[例5] 已知如图，在光滑绝缘水平面上有三个质量都是m的相同小球，两两间的距离都是l，A、B电荷量都是+q。给C一个外力F，使三个小球保持相对静止共同加速运动。求：C球的带电电性和电荷量；外力F的大小。

解：先分析A、B两球的加速度：它们相互间的库仑力为斥力，因此C对它们只能是引力，且两个库仑力的合力应沿垂直与AB连线的方向。这样就把B受的库仑力和合力的平行四边形确定了。于是可得Q_C= -2q，F=3F_B=3F_AB=。

[例6].如图所示，质量均为m的三个带电小球A,B,C,放在光滑的绝缘水平面上，彼此相隔的距离为L(L比球半径r大许多),B球带电量为Q_B =－3q.A球带电量为Q_A=+6q，若对C球加一个水平向右的恒力F,要使A,B,C三球始终保持L的间距运动，求：

(1)F的大小为多少？

(2)C球所带的电量为多少？带何种电荷？：

解析:由于A,B,C三球始终保特L的间距，说明它们具有相同的加速度,设为a,则

对A、B、C球受力分析可知,C球带正电,对A球:F_AB－F_AC=ma,即

对B球:－F_AB+F_BC=ma,即,联立以上各式得Q_C=8q.

[例7]中子内有一电荷量为上夸克和两个电荷量为下夸克，一简单模型是三个夸克都在半径为r的同一圆周上，如图所示,下面给出的四幅图中能正确表示出各夸克所受静电作用力的是(　 )

解析:上夸克与下夸克为异种电荷,相互作用力为引力,(l为任意两个夸克间的距离),由力的合成可知上夸克所受的合力F₁向下,下夸克为同种电荷,所受的作用力为斥力,,∴F^/=2F^//,由力的合成知下夸克受力F₂向上,B正确.

8．电场线永不相交也不闭合，