1. 匀减速运动的物体追同向匀速运动物体

若二者速度相等时，追赶者仍没有追上被追赶者，则追赶者永远追不上被追赶者，此时二者有最小距离；若二者相遇时，追赶者的速度等于被追赶者的速度，则刚好追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时，追赶者的速度仍大于被追赶者的速度，则还有一次被被追赶者追上追赶者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个最大值。

3. 妙取参照物求解

例3：火车甲正以速度v₁向前行驶，司机突然发现前方距甲d处有火车乙正以较小速度v₂同向匀速行驶，于是他立即刹车，使火车做匀减速运动而停下。为了使两车不相撞，加速度a应满足什么条件？

解析：设以火车乙为参照物，则甲相对乙做初速为、加速度为a的匀减速运动。若甲相对乙的速度为零时两车不相撞，则此后就不会相撞。因此，不相撞的临界条件是：甲车减速到与乙车车速相同时，甲相对乙的位移为d。

即：，

故不相撞的条件为

[模型要点]

追及、相遇问题特点：讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。一定要抓住两个关系：即时间关系和位移关系。一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

[特别说明]

2. 巧用图象法求解

例2：如图1所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为和。空气中声音传播的速率为，设，空气相对于地面没有流动。

图1

(1)若声源相继发出两个声信号。时间间隔为，请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过程。确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔。

(2)请利用(1)的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式。

解析：作声源S、观察者A、声信号P(P₁为首发声信号，P₂为再发声信号)的位移-时间图象如图2所示图线的斜率即为它们的速度则有：

图2

两式相减可得：

解得

(2)设声源发出声波的振动周期为T，这样，由以上结论，观察者接收到的声波振动的周期为

由此可得，观察者接收到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为

评点：图象分速度图象和位移图象，位移图线的斜率为速度，速度图线的斜率为加速度，速度图线与时间轴所围的“面积”值，等于该段时间内的位移大小。

[模型概述]

追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发△t，则运动时间关系为。要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。

[模型讲解]

1. 利用不等式求解

例1：甲、乙两物体相距s，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为v₁，加速度大小为a₁。乙物体在后，初速度为v₂，加速度大小为a₂且知v₁<v₂，但两物体一直没有相遇，求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为多少？

解析：若是，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。在运动过程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为

若是，说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻，此时两物体相距最近，根据，求得

在t时间内

甲的位移

乙的位移

代入表达式

求得

评点：本题是一个比较特殊的追及问题(减速追减速)。求解时要对各种可能的情况进行全面分析，先要建立清晰的物理图景。本题的特殊点在于巧妙地通过比较两物体运动时间的长短寻找两物体相距最近的临界条件。

例5. (05全国高考)如图6所示，一对杂技演员(都视为质点)乘秋千(秋千绳处于水平位置)从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A。求男演员落地点C与O点的水平距离s。已知男演员质量m₁和女演员质量m₂之比，秋千的质量不计，秋千的摆长为R，C点比O点低5R。

图6

解析：设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为，由机械能守恒定律，

设刚分离时男演员速度的大小为，方向与相同；女演员速度的大小为，方向与相反，由动量守恒，

分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t，根据题给条件，由运动学规律，

根据题给条件，女演员刚好回A点，由机械能守恒定律，，已知，由以上各式可得。

[模型演练]

(2005年苏、锡、常、镇四市调研)在广场游玩时，一个小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块放置于水平地面上。已知小石块的质量为，气球(含球内氢气)的质量为，气球体积为V，空气密度为ρ(V和ρ均视作不变量)，风沿水平方向吹，风速为v。已知风对气球的作用力(式中k为一已知系数，u为气球相对空气的速度)。开始时，小石块静止在地面上，如图7所示。

(1)若风速v在逐渐增大，小孩担心气球会连同小石块一起被吹离地面，试判断是否会出现这一情况，并说明理由。

图7

(2)若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的空间中的风速v保持不变量，求气球能达到的最大速度的大小。

答案：(1)将气球和小石块作为一个整体；在竖直方向上，气球(包括小石块)受到重力G、浮力F和地面支持力F_N的作用，据平衡条件有：

由于式中F_N是与风速v无关的恒力，而，故气球连同小石块不会一起被吹离地面。

(2)气球的运动可分解成水平方向和竖直方向的两个分运动，达到最大速度时气球在水平方向做匀速运动，有

气球在竖直方向做匀速运动，有：

气球的最大速度：

联立求解得：

例4. 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。

解析：设卫星周期为T₁，那么：

　　　　　　　　　 ①

又　　　　　 ②

有　　　　　　　 ③

地球自转角速度为　　　　　　　　　　 ④

在卫星绕行地球一周的时间T₁内，地球转过的圆心角为　　　　 ⑤

那么摄像机转到赤道正上方时摄下圆周的弧长为　　　　　　 ⑥

由①②③④⑤⑥得

例3. (2004年北京高考)如图5是某种静电分选器的原理示意图。两个竖直放置的平行金属板带有等量异号电荷，形成匀强电场，分选器漏斗的出口与两板上端处于同一高度，到两板距离相等。混合在一起的a、b两种颗粒从漏斗出口下落时，a种颗粒带上正电，b种颗粒带上负电。经分选电场后，a、b两种颗粒分别落到水平传送带A、B上。

已知两板间距d=0.1m，板的度，电场仅局限在平行板之间；各颗粒所带电量大小与其质量之比均为。设颗粒进入电场时的初速度为零，分选过程中颗粒大小及颗粒间的相互作用力不计。要求两种颗粒离开电场区域时，不接触到极板但有最大偏转量。重力加速度g取。

图5

(1)左右两板各带何种电荷？两极板间的电压多大？

(2)若两带电平行板的下端距传送带A、B的高度H=0.3m，颗粒落至传送带时的速度大小是多少？

(3)设颗粒每次与传送带碰撞反弹时，沿竖直方向的速度大小为碰撞前竖直方向速度大小的一半。写出颗粒第n次碰撞反弹高度的表达式。并求出经过多少次碰撞，颗粒反弹的高度小于0.01m。

解析：(1)左板带负电荷，右板带正电荷。依题意，颗粒在平行板间的竖直方向上满足

在水平方向上满足：

两式联立得

(2)根据动能定理，颗粒落到水平传送带上满足

(3)在竖直方向颗粒作自由落体运动，它第一次落到水平传送带上沿竖直方向的速度

反弹高度

根据题设条件，颗粒第n次反弹后上升的高度：

当时，

例2. (2005年上海高考)一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝。将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束。在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线。图4(a)为该装置示意图，图4(b)为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中。

(1)利用图(b)中的数据求1s时圆盘转动的角速度；

(2)说明激光器和传感器沿半径移动的方向；

(3)求图(b)中第三个激光信号的宽度△t₃。

图4

解析：(1)由图线读得，转盘的转动周期，

角速度

(2)激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动(理由为：由于脉冲宽度在逐渐变窄，表明光信号能通过狭缝的时间逐渐减少，即圆盘上对应探测器所在位置的线速度逐渐增加，因此激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动)。

(3)设狭缝宽度为d，探测器接收到第i个脉冲时距转轴的距离为r_i，第i个脉冲的宽度为△t_i，激光器和探测器沿半径的运动速度为v。

由以上式联立解得

评点：将直线运动与圆周运动组合，在近年高考中出现率极高，如2000年全国高考中“激光束转动测小车的速度”等，破题的关键是抓住时间、空间的关联。

例1. (04年广东高考)一路灯距地面的高度为h，身高为的人以速度v匀速行走，如图1所示。

(1)试证明人的头顶的影子作匀速运动；

(2)求人影的长度随时间的变化率。

图1

解法1：(1)设t=0时刻，人位于路灯的正下方O处，在时刻t，人走到S处，根据题意有OS=vt，过路灯P和人头顶的直线与地面的交点M为t时刻人头顶影子的位置，如图2所示。OM为人头顶影子到O点的距离。

图2

由几何关系，有

联立解得

因OM与时间t成正比，故人头顶的影子作匀速运动。

(2)由图2可知，在时刻t，人影的长度为SM，由几何关系，有SM=OM-OS，由以上各式得

可见影长SM与时间t成正比，所以影长随时间的变化率。

解法2：本题也可采用“微元法”。设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程，则人由AB到达A’B’，人影顶端C点到达C’点，由于则人影顶端的移动速度：

图3

可见与所取时间的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速直线运动。

评点：本题由生活中的影子设景，以光的直进与人匀速运动整合立意。解题的核心是利用时空将两种运动组合，破题的难点是如何借助示意图将动态过程静态化，运用几何知识解答。

平抛运动：水平匀速、竖直方向自由落体

匀速圆周运动：

[模型讲解]