2. 利用奇偶性

　　 例4　 已知函数f(x)=ax⁵+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.

　　 分析　 f(x)的解析式含有两个参数a、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法确定a、b的值,因此f(x)仍是抽象函数,但我们注意到g(x)=ax⁵+bsinx是奇函数,有g(-3)=-g(3).

　 　解　 设g(x)=ax⁵+bsinx,显然g(x)是奇函数,

　 　　 ∵ f(-3)=7,

　　 ∴ f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7　 g(3)=-4,

　　 ∴ f(3)=g(3)+3=-4+3=-1.

　　 函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路

转、化难为易.

1. 利用单调性

　 　例3　 设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.

　　 解　 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,

　　 ∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),

　　 由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9),

　　 ∵ 函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,

　　 则

　　 ∴ 不等式解集为 {x|8<x≤9}.

　　 有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法.

　　 例1 　若函数f(x)与g(x)在R上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),

f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)=　　 .

　　 解　 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型,

　 　又f(-2)=f(1)≠0,

　　 则可取

　　 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　例2　 设函数f(x)是定义在R上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y),

f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)<　　　 的解集为　　　　　 .

　　 解　 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型,

　 　 　 　　 又 f(-3)=8,

　　 则可取

　　 ∵f(x)f(x-2)<　　

∴＜, 即＜，

∴ 2x-2 >8, 　解不等式,得　 x>5,

　　 ∴ 不等式的解集为　 {x|x>5}.

8.(★★★★★)The old man was once________ sing the song.

　　 A.listened to B.listening to

　　 C.listened to to D.listen to

7.(★★★★)-Have you anything________ there.

　　 -No.Thank you just the same.

　　 A.should be taken B.to be taken

　　 C.to take D.which should be taken

6.(★★★★★)Every minute is made full________ of________ our lessons well.

　　 A.to use;study B.use;studying

　　 C.use;to study D.used;studying

5.(★★★★★)The way they talked________ the problem seemed impossible.

　　 A.about settling B.to settle

　　 C.of settling D.about to settle

4.(★★★★★)Tom did whatever he could________ those who were in trouble.

　　 A.to help B.help C.helping D.do help

3.(★★★★)They had nothing else to do but________ a doctor.

　　 A.call for B.to send C.to call on D.send for

2.(★★★★)I lost my way in complete darkness and,________ matters worse,it began to rain.

　　 A.made B.having made C.making D.to make