4.(2009安徽卷理)若集合则A∩B是

　 (A) 　(B) (C) 　　(D) 　

5(2009江西卷理)已知全集中有m个元素，中有n个元素．若非空，则的元素个数为

A．　 　　　　　B．　　　 C．　　　　 D．

3.(2009广东卷理)已知全集，集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

A. 3个　　　 B. 2个　　　 C. 1个　 D. 无穷多个

2.(2009浙江理)设，，，则(　 )

A．　　 B．　　 C．　　　 D．

1.(2009全国卷Ⅰ理)设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=AB，则集合中的元素共有(A)

(A)3个　　　 (B)4个　　　 (C)5个　　　 (D)6个　 　　

1.(2009年上海卷理)已知集合，，且，则实数a的取值范围是_____

考点2：考查集合运算

3. 利用反证法

　　 例12　 已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).求证:a+b≥0.

　　 证明 　假设a+b<0,则a<-b,b<-a,

　　 ∵　 函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,

　∴　 f(a) <f(-b),f(b) <f(-a),

　　 ∴　 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与已知矛盾,

　　 ∴　 a+b<0不成立,即a+b≥0.

　例13 　设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x) ≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证:对定义域内任意x,都有f(x) >0.

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 证明 　假设在定义域内存在x₀,使f(x₀)≤ 0,

　∵

　　 ∴ f(x₀) >0,这与假设的f(x₀)≤ 0矛盾,

　所以假设不成立,故对定义域内任意x,都有f(x) >0.

　　 以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略.事实上处理这类问题时,常将几种解题策略综合使用,“多管齐下”方能游刃有余.

2. 利用递推法

　例10　 设函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求证：f(x)是周期函数.

　解 ∵ f(x)=f(x+1)-f(x+2),

　∴　 f(x+1)=f(x+2)-f(x+3), 　

　　 将以上两式相加,得　 f(x+3)=-f(x),

　∴ f(x+6)=-f(x +3)=f(x),

　∴ f(x)是周期函数,6是它的一个周期.

　　 例11　 f(x)是定义在正整数集的函数,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy　

(x,y∈N₊),f(1)=1,求函数f(x)的解析式.

　 　解　 令y=1,

　　 ∵　 f(1)=1,

　　 ∴ 　f(x+1)=f(x)+f(1)+x, 即f(x+1)-f(x)=x+1,

　　 则 f(2)-f(1)=2,

　　　 f(3)-f(2)=3,

　　　 ……

　　　 f(x)-f(x-1)=x.

　　 将以上各式相加,得　 f(x)-f(1)=2+3+4+ …+x,

　　 ∴ f(x)=1+2+3+4+…+x=x(x+1)　 (x∈N₊).

　　 有些抽象函数问题,用常规方法来解决往往难于奏效,但用一些非常规方法来求解,常收到意想不到的效果.

1. 利用赋值法

　 　例9　 函数f(x)的定义域为R,对任意x、y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=

2f(x)f(y),且f(0)≠0.

　 (1)求证:f(0)=1;　　

　 　 　 　 　 　 　 (2)求证:f(x)是偶函数;

　 (3)　　　　　　　　　　　　 　　　① 求证:对任意x∈R,有f(x+c)=

-f(x)成 立;② 求证:f(x)是周期函数.

　 　解　 (1)令x=y=0,则有2f(0)=2f²(0),

　　 ∵ f(0)≠0,

　　 ∴ f(0)=1.

　 (2)令x=0,则有f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y),

　　 ∵ 　f(0)=1,

　 　　 ∴ f(-y)=f(y),

　∴ f(x)是偶函数.

(3)① 分别用 (c≠0)替换x、y, 有f(x+c)+f(x)=2f()f().　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∵ f()=0,　　　　

　　 ∴ f(x+c)= -f(x) .

　　 ②　 由①知　 f(x+c)=-f(x),

　　 用x+c替换x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x),

　　 ∴　 f(x)是以2c为周期的周期函数.

4. 利用对称性

　例7　 已知f(x)是奇函数,定义域为{x|x ∈R,x≠0},又f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x的取值区间是　　　　　　　 .

　　 解 　依已知条件作出f(x)的大致图象,如图1所示,从图象中可看出,当f(x)>0时,x的取值区间是(-1,0)∪(1,+∞).

　　 例8　 定义在(-∞,+∞)上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f(6)的大小关系为　　　　　　　 .

　　 解 　设F(x)=f(x+2),

　　 ∵　 F(x)为偶函数,

　　 ∴　 F(-x)=F(x), 即f(2+x)=f(2-x),

　　 ∴ 　函数f(x)的图象关于直线x=2对称,

　　 ∴　 f(-1)=f(5),

　　 ∵　 f(x)在(-∞,2)上是增函数,

　　 ∴　 f(x)在(2,+∞)上是减函数,

　　 ∴ 　f(6)<f(5)<f(4), 即f(6)<f(-1)<f(4).

3. 利用周期性

　 　例5 　设函数f(x)在R上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当0<x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=　　　　　 .

　　 解 　由f(x+2)=-f(x) ,得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

　　 则f(x)是以4为周期的周期函数,且是奇函数,

　　 于是 f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.

　 　 　 　 　　 例6 　已知函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=,则 f(2007)=　　 .

　　 解 ∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∴ f(x)是以4为周期的周期函数,