1．碰撞指的是物体间相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象．

在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，故可以用动量守恒定律处理碰撞问题．按碰撞前后物体的动量是否在一条直线上有正碰和斜碰之分，中学物理只研究正碰的情况．

2、反冲运动的研究

[例7]如图所示，在光滑水平面上质量为M的玩具炮．以射角α发射一颗质量为m的炮弹，炮弹离开炮口时的对地速度为v₀。求玩具炮后退的速度v?

[解析]炮弹出口时速度v₀可分解为竖直向上的分量v_y和水平向右的分量v_x。取炮和炮弹为系统，初始时系统动量为零，炮弹出口时炮弹有竖直向上的动量mv_y，而炮车在竖直方向上却没方向相反的动量，因此在竖直分方向上系统的动量不守恒。在水平方向上因地光滑无外力，所以可用水平方向动量守恒来解。炮车和炮弹组成的系统在水平分方向上动量守恒。

　设水平向左为正方向，据动量守恒定律，在水平方向上：mv₀cosα=Mv，

　 解得炮车后退速度

[例8]火箭喷气发动机每次喷出m=200 g的气体，喷出气体相对地面的速度为v=1000m/s,设火箭的初质量M=300kg，发动机每秒喷气20次，在不考虑阻力的情况下，火箭发动机1s末的速度是多大？

解析：由动量守恒，设火箭发动机1s末的速度为v₁，则(M－20m)v₁=20mv，

[例9]用火箭发射人造地球卫星，假设最后一节火箭的燃料用完后，火箭壳体和卫星一起以速度v=7．0×10³m/s绕地球做匀速圆周运动；已知卫星质量m= 500kg，最后一节火箭壳体的质量M=100kg；某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时卫星与火箭壳体沿轨道切线方向的相对速度u=1.8×10³m/s.试分析计算：分离后卫星的速度增加到多大？火箭壳体的速度多大？分离后它们将如何运动？

解析：设分离后卫星与火箭壳体相对于地面的速度分别为v₁和v₂，分离时系统在轨道切线方向上动量守恒，(M+m)v=mv₁+Mv₂，且u=v₁－v₂，解得v₁=7.3×10³m/s,v₂=5.5×10³m/s

卫星分离后,v₁>v₂,将做离心运动,卫星将以该点为近地点做椭圆运动.而火箭壳体分离后的速度v₂=5.5×10³m/s<v,因此做向心运动,其轨道为以该点为远地点的椭圆运动,进入大气层后,轨道将不断降低,并烧毁.

[例10]如图所示，带有1/4圆弧的光滑轨道的小车放在光滑水平地面上，弧形轨道的半径为R，最低点与水平线相切，整个小车的质量为M。现有一质量为m的小滑块从圆弧的顶端由静止开始沿轨道下滑，求当滑块脱离小车时滑块和小车的各自速度。

[解析]在m由静止沿圆弧轨道下滑过程中，m和M组成的系统在水平方向不受外力作用；因此该系统在水平方向动量守恒。在m下滑时，对M有一个斜向左下方的压力，此压力的水平分量使M在m下滑时向左作加速运动，直到m脱离轨道飞出。从能量守恒的观点看，m与M获得的动能均来自m位置降低所减少的重力势能。

设向右为正方向，m脱离轨道时的速度为v₁，此时小车的速度为v₂.

据动量守恒定律，在水平方向上：0＝mv_l一Mv₂……①　　 据能量守恒:mgR=½mv₁²⁺½Mv₂²……②

由以上两式解得

[例11]光子的能量为hγ，动量大小为hγ/c，如果一个静止的放射性元素的原子核在发生γ衰变时只发出一个γ光子，则衰变后的原子核(C)

　　 A.仍然静止　　　　　　　　　　　　　　 B.沿着与光子运动方向相同的方向运动

　　 C.沿着与光子运动方向相反的方向运动　　 D.可能向任何方向运动、

解析:原子核在放出γ光子过程中，系统动量守恒，而系统在开始时总动量为零，因此衰变后的原子核运动方向与γ光子运动方向相反.

[例12]春节期间孩子们玩“冲天炮”，有一只被点燃的“冲天炮”喷出气体竖直向上运动，其中有一段时间内“冲天炮”向上作匀速直线运动，在这段时间内“冲天炮”的有关物理量将是(　　 　)

　　 A，合外力不变；B．反冲力变小；　　 C．机械能可能变大；D．动量变小

解析：由竖直匀速上升可知，答案A和C是正确的，但在匀速上升的过程中隐含有燃料燃烧喷出气体的现象，结果“冲天炮”的质量必然减小，所以答案B和D也是对的，否则就会将B和D答案漏选　 答案：ABCD

[例13]在与河岸距离相等的条件下，为什么人从船上跳到岸上时，船越小越难？

解析：设人以速度v₀跳出，这一速度是相对于船的速度而不是相对于地的，设船的速度为v，则人相对于地的速度为v_地= v₀－v，由动量守恒得m(v₀－v)+(－Mv)=0

而由能量守恒得½m(v₀－v)²+½Mv²=E，∴v= v₀，则v_地= v₀－v= v₀，

v₀=v_地，由于船与岸的距离是一定的，则人相对于地的速度是一定的，即v_地一定，所以M越小，则v₀越大，即相对速度越大，从能量的角度来看，E=½m(v₀－v)²+½Mv²

=½mv_地²()，当M越小时，E越大，即越难。

试题展示

　　　　　　 专题：碰撞中的动量守恒

知识简析　　　 碰撞

2.研究反冲运动的目的是找反冲速度的规律，求反冲速度的关键是确定相互作用的物体系统和其中各物体对地的运动状态．

规律方法　 1、人船模型及其应用

[例1]如图所示，长为l、质量为M的小船停在静水中，一个质量为m的人站在船头，若不计水的阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多少？

解析:当人从船头走到船尾的过程中,人和船组成的系统在水平方向上不受力的作用,故系统水平方向动量守恒,设某时刻人对地的速度为v₂,船对地的速度为v_1,则mv₂－Mv₁=0,即v₂/v₁=M/m.

在人从船头走到船尾的过程中每一时刻系统的动量均守恒,故mv₂t－Mv₁t=0,即ms₂－Ms₁=0,而s₁+s₂=L

所以

　思考：(1)人的位移为什么不是船长？

　　 (2)若开始时人船一起以某一速度匀速运动，则还满足s₂/s₁=M/m吗？

[例2]载人气球原静止于高h的高空，气球质量为M，人的质量为m．若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？

解析：气球和人原静止于空中，说明系统所受合力为零，故人下滑过程中系统动量守恒，人着地时，绳梯至少应触及地面，因为人下滑过程中，人和气球任意时刻的动量大小都相等，所以整个过程中系统平均动量守恒．若设绳梯长为l，人沿绳梯滑至地面的时间为 t，由图4-15可看出，气球对地移动的平均速度为(l－h)/t，人对地移动的平均速度为－h/t(以向上为正方向)．由动量守恒定律，有

　　 M(l－h)/t－m h/t=0．解得 l=h．　　 答案：h

说明：(1)当问题符合动量守恒定律的条件，而又仅涉及位移而不涉及速度时，通常可用平均动量求解．

(2)画出反映位移关系的草图，对求解此类题目会有很大的帮助．

(3)解此类的题目，注意速度必须相对同一参照物．

[例3]如图所示，一质量为m_l的半圆槽体A，A槽内外皆光滑，将A置于光滑水平面上，槽半径为R.现有一质量为m₂的光滑小球B由静止沿槽顶滑下，设A和B均为弹性体，且不计空气阻力，求槽体A向一侧滑动的最大距离．

解析:系统在水平方向上动量守恒,当小球运动到糟的最右端时,糟向左运动的最大距离设为s₁,则m₁s₁=m₂s₂,又因为s₁+s₂=2R,所以

思考：(1)在槽、小球运动的过程中，系统的动量守恒吗？

　　 (2)当小球运动到槽的最右端时，槽是否静止？小球能否运动到最高点？

　　 (3)s₁+S₂为什么等于2R,而不是πR?

[例4]某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪(不包括子弹)及靶的总质量为M,枪内有n颗子弹，每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹水平射出枪口相对于地的速度为v₀，在发射后一

发子弹时，前一发子弹已射入靶中，在射完n颗子弹时，小船后退的距离为()

解析:设n颗子弹发射的总时间为t,取n颗子弹为整体,由动量守恒得nmv₀=Mv₁,即nmv₀t=Mv₁t;

设子弹相对于地面移动的距离为s₁,小船后退的距离为s₂,则有: s₁=v₀t, s₂= v₁t;且s₁+s₂=L

解得:.答案C

[例5]如图所示，质量为m、半径为R的小球，放在半径为2R,质量为2m的大空心球内．大球开始静止在光滑的水平面上，当小球从图示位置无初速度地沿大球壁滚到最低点时，大球移动的距离是多少?

解析:设小球相对于地面移动的距离为s₁,大球相对于地面移动的距离为s₂.下落时间为t,则由动量守恒定律得;解得

[例6]如图所示，长20 m的木板AB的一端固定一竖立的木桩，木桩与木板的总质量为10kg，将木板放在动摩擦因数为μ=0. 2的粗糙水平面上，一质量为40kg的人从静止开始以a₁=4 m/s²的加速度从B端向A端跑去，到达A端后在极短时间内抱住木桩(木桩的粗细不计)，求：

(1)人刚到达A端时木板移动的距离．

　(2)人抱住木桩后木板向哪个方向运动，移动的最大距离是多少？(g取10 m/s²)

解析:(1)由于人与木板组成的系统在水平方向上受的合力不为零,故不遵守动量守恒.设人对地的位移为s₁,木板对地的速度为s₂,木板移动的加速度为a₂,人与木板的摩擦力为F,由牛顿定律得:

F=Ma₁=160N;

设人从B端运动到A端所用的时间为t,则s₁=½a₁t, s₂=½a₂t; s₁+s₂=20m

由以上各式解得t=2.0s,s₂=12m

(2)解法一:设人运动到A端时速度为v₁,木板移动的速度为v₂,则v₁=a₁t=8.0m/s, v₂=a₂t=12.0m/s,

由于人抱住木桩的时间极短,在水平方向系统动量守恒,取人的方向为正方向,则Mv₁－mv₂=(M+m)v,得v=4.0m/s.由此断定人抱住木桩后,木板将向左运动.由动能定理得(M+m)μgs=½(M+m)v²解得s=4.0m.

解法二:对木板受力分析,木板受到地面的摩擦力向左,故产生向左的冲量,因此,人抱住木桩后,系统将向左运动.由系统动量定理得(M+m)μgt=(M+m)v,解得v=4.0m/s

由动能定理得(M+m)μgs=½(M+m)v²解得s=4.0m.

1、指在系统内力作用下，系统内一部分物体向某发生动量变化时，系统内其余部分物体向相反方向发生动量变化的现象

2、人船模型的应用条件是：两个物体组成的系统(当有多个物体组成系统时，可以先转化为两个物体组成的系统)动量守恒，系统的合动量为零．

1．若系统在整个过程中任意两时刻的总动量相等，则这一系统在全过程中的平均动量也必定守恒。在此类问题中，凡涉及位移问题时，我们常用“系统平均动量守恒”予以解决。如果系统是由两个物体组成的，合外力为零，且相互作用前均静止。相互作用后运动，则由0=m₁+m₂得推论0＝m₁s₁+m₂s₂，但使用时要明确s₁、s₂必须是相对地面的位移。

5．解方程。如解出两个答案或带有负号要说明其意义。

[例7]将质量为m；的铅球以大小为v₀、仰角为θ的初速度抛入一个装着砂子的总质量为M的静止砂车中如图所示。砂车与地面间的摩擦力不计，球与砂车的共同速度等于多少？

　　 解析：把铅球和砂车看成一个系统，系统在整个过程中不受水平方向的外力，则水平方向动量守恒．所以：

　　　 m v₀cosθ＝(M+m)v，所以v= m v₀cosθ/(M+m)

答案：m v₀cosθ/(M+m)

说明：某方向合外力为零，该方向动量守恒．

[例8]有N个人，每人的质量均为m，站在质量为M的静止在光滑水平地面上的平板车上，他们从平板车的后端以相对于车身为u的水平速度向后跳下，车就朝前方向运动，求：

　 (1)如果所有的人同时跳下，平板车获得的速度多大？

　 (2)如果一次只跳一个人，平板车获得的速度多大？

解答：他们同时跳下，则nm(u－v)－Mv=0，∴v=u

他们相继跳下，则0=[M+(n－1)m]v₁+m(v₁－u)；

[M+(n－1)m]v₁=[M+(n－2)m]v₂+m(v₂－u)；

[M+(n－2)m]v₂=[M+(n－3)m]v₃+m(v₃－u)；…………

[M+m]v_n-1=Mv_n+m(v_n－u)

∴v₁=mu/(M+nm)；v₂－v₁=mu/[M+(n－1)m]；v₃－v₂=mu/[M+(n－2)m]；……

v_n－vn－₁=mu/[M+m]；

v_n=mu[+++………+]；即v_n＞v

[例9]一玩具车携带若干质量为m的弹丸,车和弹丸的总质量为M,在半径为R的光滑轨道上以速率v₀做匀速圆周运动,若小车每转一周便沿运动方向相对地面以恒定速度u发射一枚弹丸,求:

(1)　　 至少发射多少颗弹丸后,小车开始反向运动?

(2)　　 写出小车反向运动前发射相邻两枚弹丸的时间间隔的表达式.

解析:(1)设发射第一枚弹丸后,玩具车的速度为v₁,由切线方向动量守恒得:

(M－m)v₁+mu=Mv₀　 得

第二枚弹丸发射后,则(M－2m)v₂+mu=(M－m)v₁　 得

………

则第n枚弹丸发射后,小车的速度为

小车开始反向运动时,v_n≤0,则

(2)发射相邻两枚弹丸的时间间隔就是发射第k(k<n)枚弹丸后小车的周期,即:

[例10]如图所示，一排人站在沿X轴的水平轨道旁．原点O两侧的人序号都记为n(n＝1、2、3、……)每人只有一个沙袋，X＞0一侧的每个沙袋质量为m＝14 kg， x＜0一侧的每个沙袋质量为 m^/=10 kg．一质量为M=48 kg的小车以某初速度从原点出发向正X方向滑行，不计轨道阻力．当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v的大小等手扔袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号数)．

　 (1)空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？

　 (2)车上最终有大小沙袋共多少个？

解答：①小车朝正X方向滑行的过程中，第(n－1)个沙袋扔到车上后的车速为v_n－1，第n个沙袋扔到车上后的车速为v_n，由动量守恒[M+(n－1)m] v_n－1－2nm v_n－1=(M+nm)v_n

v_n= v_n－1………①

小车反向运动的条件是v_n－1＞0， v_n＜0，即M－nm＞0，M－(n+1)m＜0，代入数据得

n＜M/m=48/14，n＞M/m－1=34/14，n应为整数，故n=3，即车上堆积3个沙袋后车就反向滑行

②车自反向滑行直到接近x＜一侧第1人所在位置时，车速保持不变，而车的质量为M+3m，若在朝负x方向滑行过程中，第(n-1)个沙袋扔到车上后，车速为v_n-1^/，第n个沙袋扔到车上后车速为v_n^/，现取向左方向为正方向，则由动量守恒得：

[M+3m+(n-1)m^/] v_n-1^/－2nm^/ v_n-1^/=(M+3m+nm^/)v_n^/

v_n^/= v_n-1^/，车不再向左滑行的条件是v_n-1^/＞0，v_n^/＜0，

即(M+3m－nm^/)＞0，(M+3m－(n+1)m^/)≤0

即n＜=9，n≥－1=8，即8≤n＜9，

在n=8时，车停止滑行，故最终有11个沙袋。

试题展示

　　　　　　 专题：人船模型与反冲运动

知识简析　 一、人船模型

4．规定正方向，列方程。

3．分析系统初、末状态各质点的速度，明确系统初、末状态的动量。

2．分析系统所受外力、内力，判定系统动量是否守恒。