20.(2009福建卷文)(本小题满分14分)
已知直线经过椭圆 21世纪教育网
的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点和椭
圆上位于轴上方的动点,直线,与直线
分别交于两点。
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;
(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这
样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由
解法一:
(I)由已知得,椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在,且,故可设直线的方程为,从而
由得0
设则得,从而 21世纪教育网
即又
由得
故
又
当且仅当,即时等号成立21世纪教育网
时,线段的长度取最小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时,
此时的方程为
要使椭圆上存在点,使得的面积等于,只须到直线的距离等于,所以在平行于且与距离等于的直线上。
设直线
则由解得或
19.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)
已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个项点到两个
焦点的距离分别是7和1
(I) 求椭圆的方程‘
(II) 若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,
(e为椭圆C的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
解:
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
{ 解得a=4,c=3, 21世纪教育网
所以椭圆C的方程为
(Ⅱ)设M(x,y),P(x,),其中由已知得
而,故 ①
由点P在椭圆C上得
代入①式并化简得
所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.
18.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)
已知,椭圆C以过点A(1,),两个焦点为(-1,0)(1,0)。
(1) 求椭圆C的方程;
(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
(22)解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为。
因为A在椭圆上,所以,解得=3,=(舍去)。
所以椭圆方程为 . ......4分
(Ⅱ)设直线AE方程:得,代入得
设E(,),F(,).因为点A(1,)在椭圆上,所以
,
。 .......8分
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以代,可得
,
。
所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值,其值为。 .......12分
17.(2009天津卷文)(本小题满分14分)
已知椭圆()的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交于点A,B两点,且
(Ⅰ求椭圆的离心率
(Ⅱ)直线AB的斜率;
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上,求的值。
[答案](1)(2)(3)
[解析] (1)解:由,得,从而
,整理得,故离心率
(2)解:由(1)知,,所以椭圆的方程可以写为
设直线AB的方程为即
由已知设则它们的坐标满足方程组 21世纪教育网
消去y整理,得
依题意,
而,有题设知,点B为线段AE的中点,所以
联立三式,解得,将结果代入韦达定理中解得
(3)由(2)知,,当时,得A由已知得
线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
直线的方程为,于是点满足方程组由,解得,故
当时,同理可得
[考点定位]本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想,考查运算能力和推理能力。
16.(2009江西卷文)(本小题满分14分)
如图,已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.
(1)求圆的半径;
(2)过点作圆的两条切线交椭圆于两点,
|
|
解: (1)设,过圆心作于,交长轴于
由得,
即 (1)
而点在椭圆上, (2)
由(1)、 (2)式得,解得或(舍去)
(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)
则,即 (4)
解得
将(3)代入得,则异于零的解为
设,,则
则直线的斜率为:
于是直线的方程为:
即
则圆心到直线的距离 21世纪教育网
故结论成立.
15.(2009安徽卷文)(本小题满分12分)
已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的
圆与直线y=x+2相切,
(Ⅰ)求a与b;21世纪教育网
(Ⅱ)设该椭圆的左,右焦点分别为和,直线过且与x轴垂直,动直线与y轴垂直,交与点p..求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型。
[思路](1)由椭圆建立a、b等量关系,再根据直线与椭圆相切求出a、b.
(2)依据几何关系转化为代数方程可求得,这之中的消参就很重要了。
[解析](1)由于 ∴ ∴ 又 ∴b2=2,a2=3因此,. 21世纪教育网
(2)由(1)知F1,F2两点分别为(-1,0),(1,0),由题意可设P(1,t).(t≠0).那么线段PF1中点为,设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于则消去参数t得
,其轨迹为抛物线(除原点)
14. (2009山东卷文)(本小题满分14分)
设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 21世纪教育网
(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
解:(1)因为,,,
所以, 即. 21世纪教育网
当m=0时,方程表示两直线,方程为;
当时, 方程表示的是圆
当且时,方程表示的是椭圆;
当时,方程表示的是双曲线.
(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,, 所求的圆为.
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1, 由(2)知, 即 ①,
因为与轨迹E只有一个公共点B1,
由(2)知得,
即有唯一解
则△=, 即, ②
由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 21世纪教育网
由 中,所以,,
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,
在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即
当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.
[命题立意]:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.
13.(2009浙江文)(本题满分15分)已知抛物线:上一点到其焦点的距离为.
(I)求与的值;
(II)设抛物线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于点,过点作的垂线交于另一点.若是的切线,求的最小值.
解析(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程:,根据抛物线定义
点到焦点的距离等于它到准线的距离,即,解得
抛物线方程为:,将代入抛物线方程,解得
(Ⅱ)由题意知,过点的直线斜率存在且不为0,设其为。
则,当 则。
联立方程,整理得:
即:,解得或
,而,直线斜率为 21世纪教育网
,联立方程
整理得:,即:
,解得:,或
,
而抛物线在点N处切线斜率:
MN是抛物线的切线,, 整理得
,解得(舍去),或,
12.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程
(2)求的面积
(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.
[解析](1)设椭圆G的方程为: ()半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为:. 21世纪教育网
(2 )点的坐标为
(3)若,由可知点(6,0)在圆外,
若,由可知点(-6,0)在圆外;
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
11.(2009宁夏海南卷文)已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若为的中点,则抛物线C的方程为 。
[答案]
[解析]设抛物线为y2=kx,与y=x联立方程组,消去y,得:x2-kx=0,=k=2×2,故.
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