4、统计

　(1)三种抽样方法

　①简单随机抽样

　简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．

　简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．

　实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．

　②系统抽样

　系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．

　系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．

　系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔，当(N为总体中的个体数，n为样本容量)是整数时，；当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数N能被n整除，这时；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号，再按事先确定的规则抽取样本．通常是将加上间隔k得到第2个编号，将加上k，得到第3个编号，这样继续下去，直到获取整个样本．

　③分层抽样

　当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．

　分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．

　(2)用样本估计总体

　样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．

　①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．

　②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．

　③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为． 有时也用标准差的平方---方差来代替标准差，两者实质上是一样的．

　(3)两个变量之间的关系

　变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器．

　(4)求回归直线方程的步骤：

　第一步：先把数据制成表，从表中计算出；

　第二步：计算回归系数的a，b，公式为

　第三步：写出回归直线方程．

(4)独立性检验

①列联表：列出的两个分类变量和，它们的取值分别为和的样本频数表称为列联表1

分类	1	2	总计
1
2
总计

　 　　构造随机变量(其中)

得到的观察值常与以下几个临界值加以比较：

　　如果　，就有的把握因为两分类变量和是有关系；

如果　　就有的把握因为两分类变量和是有关系；

如果　　就有的把握因为两分类变量和是有关系；

如果低于，就认为没有充分的证据说明变量和是有关系．

　　②三维柱形图：如果列联表1的三维柱形图如下图

　　由各小柱形表示的频数可见，对角线上的频数的积的差的绝对值

　较大，说明两分类变量和是有关的，否则的话是无关的．

重点：一方面考察对角线频数之差，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思路方法。

　③二维条形图(相应于上面的三维柱形图而画)

　　由深、浅染色的高可见两种情况下所占比例，由数据可知要比小得多，由于差距较大，因此，说明两分类变量和有关系的可能性较大，两个比值相差越大两分类变量和有关的可能性也越的．否则是无关系的．

重点：通过图形以及所占比例直观地粗略地观察是否有关，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思想方法。

④等高条形图(相应于上面的条形图而画)

　由深、浅染色的高可见两种情况下的百分比；另一方面，数据

要比小得多，因此，说明两分类变量和有关系的可能性较大，

否则是无关系的．

重点：直观地看出在两类分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况，是在图2的基础上换一个角度来理解。

3.概率

(1)事件与基本事件：

　基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．

　(2)频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．

　(3)互斥事件与对立事件：

事件	定义	集合角度理解	关系
互斥事件	事件与不可能同时发生	两事件交集为空	事件与对立，则与必为互斥事件； 事件与互斥，但不一是对立事件
对立事件	事件与不可能同时发生，且必有一个发生	两事件互补

　(4)古典概型与几何概型：

　古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．

　几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例．

　两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．

　(5)古典概型与几何概型的概率计算公式：

　古典概型的概率计算公式：．

　几何概型的概率计算公式：．

　两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．

　(6)概率基本性质与公式

①事件的概率的范围为：．

②互斥事件与的概率加法公式：．

③对立事件与的概率加法公式：．

(7) 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是pn(k) = Cpk(1―p)n―k.　实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n的展开式的第k+1项.

(8)独立重复试验与二项分布

　①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：(1)相同条件；(2)多次重复；(3)各次之间相互独立；

　②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．

2.二项式定理

⑴ 二项式定理

(a +b)n =Can +Can－1b+…+Can－rbr +…+Cbn，其中各项系数就是组合数C，展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1 =Can－rbr.

⑵ 二项展开式的通项公式

二项展开式的第r+1项Tr+1=Can－rbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。

⑶ 二项式系数的性质

①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，

即C= C　(r=0,1,2,…,n).

②若n是偶数，则中间项(第项)的二项公式系数最大，其值为C；若n是奇数，则中间两项(第项和第项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C= C.

③所有二项式系数和等于2n，即C+C+C+…+C=2n.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，

即C+C+…=C+C+…=2n―1.

1.排列与组合

⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.

⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.

⑶ 排列与组合的主要公式

①排列数公式： (m≤n)　

A=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1.

②组合数公式：　(m≤n).

③组合数性质：①(m≤n).　　　　 ②　　

③

3．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。

2．由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热点问题作深入的研究。

1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。

(二)2009年高考预测

1．求曲线(轨迹)方程的常用方法(定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等)。

2．掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。

3．直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有：

(1)直线方程、圆方程；

(2)圆锥曲线的标准方程；

(3)圆锥曲线的几何性质；

(4)直线与圆锥曲线的位置关系；

(5)求曲线(轨迹)方程。特别是求曲线(轨迹)方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。

(一)方法总结

1．求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a，b，c，e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.

2．涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用定义.

3．直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.

4．对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.

5．与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.

考点一　 点、直线、圆的位置关系问题

[内容解读]点与直线的位置关系有：点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时，经常考查点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆的位置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与两圆的半径之和或差比较。

[命题规律]本节内容一般以选择题或填空题为主，难度不大，属容易题。

例1、(2008全国Ⅱ卷文)原点到直线的距离为(　　 )

A．1　　　　　　　 B．　　　　　 C．2 　　　　　 D．

解：原点为(0，0)，由公式，得：，故选(D)。

点评：本题直接应用点到直线的公式可求解，属容易题。

例2、(2007湖南理)圆心为且与直线相切的圆的方程是　　　　 ．

解：圆与直线相切，圆心到直线的距离为半径，所以，R＝＝，所以，所求方程为：

点评：直线与圆的位置关系问题是经常考查的内容，对于相切问题，经常采用点到直线的距离公式求解。

例3、 (2008重庆理)圆O1：x2+y2－2x＝0和圆O2：x2+y2－4y＝0的位置关系是 ( 　 )

(A)相离　　　　 (B)相交　 　 (C)外切　　　 (D)内切　　　　　　　　　　　

解：配方，得：圆O1：(x－1)2+y2＝1和圆O2：x2+(y－2)2＝4，

圆心为(1，0)，(0，2)，半径为r＝1，R＝2，

圆心之间距离为：＝，因为2－1＜＜2+1，

所以，两圆相交．选(B)．

　点评：两圆的位置关系有五种，通常是求两圆心之间的距离，再与两圆的半径之和或之差来比较，确定位置关系．

考点二　 直线、圆的方程问题

[内容解读]直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、.截距式、一般式五种形式，各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解。圆的方程有标准式一般式两种；直线与圆的方程问题，经常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。

[命题规律]直线与圆的方程问题多以选择题与填空题形式出现，属容易题。

例4、(2008广东文)经过圆的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是(　 )

A．　　　 B. 　　C. 　　　D.

解：易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为,因此，选(A.)。

点评：两直线垂直，斜率之积为－1，利用待定系数法求直线方程，简单、方便。

例5、(2008山东文)若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是( 　 )

A．　　　　　　　 B．

C．　　　　　 D．

解：设圆心为由已知得故选B.

点评：圆与x轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等，注意用数形结合，画出草图来帮助理解。

考点三　 曲线(轨迹)方程的求法

[内容解读]轨迹问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法：

(1)单动点的轨迹问题--直接法+ 待定系数法；

(2)双动点的轨迹问题--代入法；

(3)多动点的轨迹问题--参数法　 + 交轨法。

[命题规律]轨迹问题在高考中多以解答题出现，属中档题。

例6、(2008深圳福田模拟)已知动圆过定点，且与直线相切.

(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；

(2) 是否存在直线，使过点(0，1)，并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解：(1)如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知： 　　　

即动点到定点与到定直线的距离相等，

由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，　　　　　　

为准线，　

∴动圆圆心的轨迹方程为　

(2)由题可设直线的方程为

由得　　

　 △，　

设，，则，

　 由，即 ，，于是，

即，，

　 ，解得或(舍去)，

又，　 ∴ 直线存在，其方程为　

点评：本题的轨迹问题采用抛物线的定义来求解，用圆锥曲线的定义求轨迹问题是经常采用的方法，要求充分掌握圆锥曲线的定义，灵活应用。

例7、(2008广州模拟)已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．

(1)求曲线的方程；

(2)设过的直线与曲线交于、两点，且(为坐标原点)，求直线的方程．

解：(1)根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，

　　 其中，，则． 所以动点M的轨迹方程为．

(2)当直线的斜率不存在时，不满足题意．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，

∵，∴． 　　 ∵，，

∴．　∴ ．………… ①　

由方程组得．

则，，

代入①，得．

即，解得，或．所以，直线的方程是或

　点评：本题考查椭圆的定义，椭圆与向量结合的综合题的解法。

例8、(2008广东吴川模拟)已知点和圆C：，(1)求经过点P被圆C截得的线段最长的直线的方程；

(2)过P点向圆C引割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹。

解：(1)化圆的方程为：　　　　 圆心坐标：

　　　　 由题意可得直线经过圆C的圆心，由两点式方程得：

化简得：直线的方程是：

(2)解：设中点

　　　　 ∵CM⊥PM　 ∴是

　　　　 有：

　　　　 即：

　　　　 化简得：

　　　　 故中点M的轨迹是圆在圆C内部的一段弧。

点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。要求掌握好平面几何的知识，如勾股定理，垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。

考点四　 有关圆锥曲线的定义的问题

[内容解读]圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外，经常在选择题、填空题中也有出现。

[命题规律]填空题、选择题中出现，属中等偏易题。

例9、(2008上海文)设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于(　)

A．4　　　　　　　 B．5　　　　　　　 C．8　　　　　　　 D．10

解：由椭圆的定义知：故选(D)。

点评：本题很简单，直接利用椭圆的定义即可求解，属容易题。

例10、(2008北京理)若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为( 　 )

　　 A．圆　　　　　　 B．椭圆　　　　 C．双曲线　　　　　　 D．抛物线

解: 把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。故选(D)。

点评： 本题考查抛物线的定义，将点P到x=-1的距离，转化为点P到x＝－2的距离，体现了数学上的转化与化归的思想。

例12、(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　 　 )

A. (，－1)　 B. (，1)　　 C. (1，2)　 D. (1，－2)

解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图

,故最小值在三点共线时取得，

此时的纵坐标都是，点坐标为，所以选A。

点评：点P到焦点的距离，利用抛物线的定义，转化为点P到准线之间的距离，体现数学上的转化与化归的思想，在数学问题中，经常考查这种数学思想方法。

考点五　 圆锥曲线的几何性质

[内容解读]圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐标、离心率和近近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容，

离心率公式一样：e＝，范围不一样，椭圆的离心率在(0,1)之间，双曲线的离心率在(1，+∞)之间，抛物线的离心率为1，

[命题规律]

例13、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为(　 　 )

A. 3　　　　 B. 4　　　　 C. 3　　　　 D. 4

解：因为a＝，b＝，所以c＝＝2，2c＝4，故选(D)。

点评：本题考查双曲线中a、b、c之间的关系，焦距的定义，属容易题。

例14、(2008福建文、理)双曲线的两个焦点为，若P为其上的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　 D．

解：如图，设，，当P在右顶点处，

∵，∴

点评：本题考查离心率的公式及其意义，另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边来求解,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线.

例15、(2008辽宁文) 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则( 　 )

　　 A．1　　　　　　 B．2　　　　　　　 C．3　　　　　　　 D．4

解：取顶点,

一条渐近线为故选(D)。

点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式问题。

考点六　 直线与圆锥曲线位置关系问题

[内容解读]能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题；能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便。

[命题规律]直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程，数形结合，分类讨论、化归等数学思想方法，因此这部分经常作为高考试题的压轴题，命题主要意图是考查运算能力，逻辑揄能力。

例16、(2007年重庆)已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　 )

(A)　　　　　 (B)　　　　　 (C)　　　　　 (D)

解：设椭圆方程为，联立方程组：

消x得：－1＝0，

△＝192m2－4(16m－1)(3m+n)＝0，整理，得：即：

　 ，又c＝2，由焦点在x轴上信，所以，

＝4，联立解得：，故长轴长为

点评：直线与圆锥曲线只有一个交点时，经常采用联立方程组，消去一个未知数后，变成一元二次方程，由判别式来求解，但要注意，有时要考虑二次项的系数为0的特殊情况。

例17、(2007年浙江)如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为．

(I)求在，的条件下，的最大值；

(II)当，时，求直线的方程．

解：设点的坐标为，点的坐标为．

由，解得，

所以，

当且仅当时，取到最大值1．

(Ⅱ)解：由，得，

＝＝+1，　　　　　　　 　　　　　　①

｜AB｜＝＝＝2　②

设到的距离为，则，又因为，

所以，代入②式并整理，得，

解得，，，代入①式检验，．

故直线的方程是，或，

或，或．

点评:求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式：｜AB｜＝＝来求解。

例18、(2006上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.

　　 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，

由，得

由,点P在椭圆上,得,

∴线段PA中点M的轨迹方程是.

点评:涉及弦的中点问题，除用上述方法外，有时也联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理，或运用平方差法求解，但必须是以直线与圆锥曲线相交为前提。