3.求可导函数f(x)的最值的方法:
(1)求f(x)在给定区间内的极值;
(2)将f(x)的各极值与端点值比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(3)如果开区间内只有一个极值点,那么必是最值点。
同步练习 11.4函数的单调性与极值 最值
[选择题]
2.求可导函数f(x)的极值的步骤如下:
(1)求f(x)的定义域,求(x);
(2)由(x)=0,求其稳定点;
(3)检查(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取极小值;如果左右同号,那么f(x)在这个根处不取极值.
注意: f/(x)=0 是函数f(x)在点x0处取极值的必要不充分条件。.
1. 若f(x)在区间(a,b)上可导,则(x)>0
f(x)为增函数(
(x)<0
f(x)为减函数).
(1)若不是可导函数,上述必要性不成立;
(2)(x)≥0(≤0)且只在一些孤立的点处f/(x)=0,则f(x)仍递增(减)。
[例1]已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1].
(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,求a的取值范围;
(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.
分析:(1)要使f(x)在(0,1]上为增函数,需f′(x)>0,x∈(0,1).
(2)利用函数的单调性求最大值.
解:(1)由已知可得f′(x)=2a+,∵f(x)在(0,1)上是增函数,∴f′(x)>0,即a>-
, x∈(0,1].∴a>-1.
当a=-1时,f′(x)=-2+对x∈(0,1)也有f′(x)>0,满足f(x)在(0,1]上为增函数,
∴a≥-1.
(2)由(1)知,当a≥-1时,f(x)在(0,1]上为增函数,
∴[f(x)]max=f(1)=2a-1.
当a<-1时,令f′(x)=0得x=,
∵0<<1,∴0<x<
时,f′(x)>0;
<x≤1时,f′(x)<0.
∴f(x)在(0,
)上是增函数,在(
,1]减函数.
∴[f(x)]max=f ()=-3
.
解法点评:求参数的取值范围,凡涉及函数的单调性、最值问题时,用导数的知识解决较简单.
[例2] (2006天津) 已知函数,其中x∈R,θ为参数,且0≤θ<2π.
(1)当时cosθ=0,判断函数f(x)是否有极值;
(2)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数θ的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数f(x)在区间内都是增函数,求实数
的取值范围.
解:(Ⅰ)当cosθ=0时,f(x)=4x3,则f(x)在内是增函数,故无极值.
(Ⅱ)f′(x)=12x2-6xcosθ,令f′(x)=0,得
由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当cosθ>0时,随x的变化f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:
x |
![]() |
0 |
![]() |
![]() |
![]() |
f/(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
因此,函数f(x)在处取得极小值
,且
要使,必有
,可得
由于,故
②当时cosθ<0,随x的变化,f′(x)的符号及的变化情况如下表:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
![]() |
![]() |
极大值 |
![]() |
极小值 |
![]() |
因此,函数f(x)在x=0处取得极小值f(0),且
若f(0) >0,则cosx>0。矛盾。所以当cosx<0时,f(x)的极小值不会大于零。
综上,要使函数f(x)在(-∞,+∞)内的极小值大于零,参数θ的取值范围为。
(III)由(II)知,函数f(x)在区间与
内都是增函数。
由题设,函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数,则a须满足不等式组
或
由(II),参数时时,
。要使不等式
关于参数
恒成立,必有
,即
。
综上,解得或
。
所以的取值范围是
。
特别提示:对于求单调区间、极值、最值问题,根据导数的零点把定义区间分开,列出表格,再分析各区间导数的符号,进而确定单调区间、极值最值,清楚直观不易出错。
[例3](2006福建) 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:
(0<x≤20)已知甲、乙两地相距100千米。
(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
解:(I)当时,汽车从甲地到乙地行驶了
小时,
要耗油(升)。
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
(II)当速度为千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了
小时,设耗油量为
升,
依题意得
令得
当时,
是减函数;
当时,
是增函数。
当
时,
取到极小值
因为在
上只有一个极值,所以它是最小值。
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升。
考查知识:函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
[例4](2006广东) 设函数分别在
处取得极小值
极大值
平面上点A
B的坐标分别为
,该平面上动点P满足
,点Q是点P关于直线
的对称点
求(Ⅰ)点A
B的坐标
;
(Ⅱ)动点Q的轨迹方程
解: (Ⅰ)令解得
当时,
, 当
时,
,当
时,
所以,函数在处取得极小值,在
取得极大值,
故,
所以, 点A B的坐标为
(Ⅱ) 设,
,PQ的中点在
上,
,
所以,
∴
∵
∴
∴
化简得
[研讨.欣赏](2006辽宁)已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列,且a>0,d>0.设x0为f(x)的极小值点,在[1-
]上,f/(x)在x1处取得最大值,在x2处取得最小值,将点(x0,f(x0))、(x1,f/(x1))、(x2,f(x2))依次记为A, B, C
(I)求x0的值
(II)若⊿ABC有一边平行于x轴,且面积为,求a ,d的值
解(Ⅰ):
令,得
或
当时,
,
所以在
处取极小值,即
.
(Ⅱ)法一:
∴的图象开口向上,对称轴方程是
,
,知
∴在
上的最大值为
,则
,
又由,知
∴当时,
取得最小值
,即
,
,
.
由△ABC有一条边平行于x轴,得AC平行于x轴,所以
,即
①
又由△ABC的面积为,得
,
利用,得
. ②
联立①,②可得.
法二:.
由知
在
上的最大值为
,即
由,知
,
∴当时,
取得最小值
,即
,
.
由△ABC有一条边平行于x轴,得AC平行于x轴,所以
-,即
.
①
又由△ABC的面积为,得
.
利用,得
. ②
联立①,②可得.
5. ; 6.
当x∈(4,5)时,恒有f′(x)>0.答案:③
4.y′=-2, 当0<x<
时,y′>0,为增函数.
当x>时,y′<0,是减函数.∴x=
时,y有最大值
.
6.如果函数y=f(x)的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:
①函数y=f(x)在区间(-3,-)内单调递增;
②函数y=f(x)在区间(-,3)内单调递减;
③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;
⑤当x=-时,函数y=f(x)有极大值.
则上述判断中正确的是_____________
简答:1-4.DDD;
5.(2006北京)已知是
上的减函数,那么
的取值范围是
4. 函数y=-2x(x≥0)的最大值为_____________.
3.(2005全国Ⅰ)函数f(x)=x3+ax2+3x-9已知f(x)在x=-3时取得极值,则a=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
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