3.求可导函数f(x)的最值的方法：

(1)求f(x)在给定区间内的极值；

(2)将f(x)的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

(3)如果开区间内只有一个极值点，那么必是最值点。

同步练习　 　11.4函数的单调性与极值 最值

　 [选择题]

2.求可导函数f(x)的极值的步骤如下：

(1)求f(x)的定义域，求(x)；

(2)由(x)=0，求其稳定点；

(3)检查(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f(x)在这个根处不取极值.

注意：　 f^/(x)=0 是函数f(x)在点x₀处取极值的必要不充分条件。.

1. 若f(x)在区间(a,b)上可导，则(x)>0f(x)为增函数((x)<0f(x)为减函数).

(1)若不是可导函数，上述必要性不成立；

(2)(x)≥0(≤0)且只在一些孤立的点处f^/(x)=0,则f(x)仍递增(减)。

[例1]已知函数f(x)=2ax－,x∈(0,1］.

(1)若f(x)在x∈(0,1］上是增函数，求a的取值范围；

(2)求f(x)在区间(0,1］上的最大值.

分析:(1)要使f(x)在(0,1］上为增函数，需f′(x)＞0,x∈(0,1).

(2)利用函数的单调性求最大值.

解:(1)由已知可得f′(x)=2a+,∵f(x)在(0,1)上是增函数，∴f′(x)＞0,即a＞－,　　 x∈(0,1］.∴a＞－1.

当a=－1时，f′(x)=－2+对x∈(0,1)也有f′(x)＞0，满足f(x)在(0,1］上为增函数，

∴a≥－1.

(2)由(1)知,当a≥－1时,f(x)在(0,1］上为增函数,

∴［f(x)］_max=f(1)=2a－1.

当a＜－1时，令f′(x)=0得x=,

∵0＜＜1,∴0＜x＜时,f′(x)＞0; ＜x≤1时，f′(x)＜0.

∴f(x)在(0, )上是增函数，在(,1]减函数.

∴［f(x)］_max=f ()=－3.

解法点评:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.

[例2] (2006天津) 已知函数，其中x∈R,θ为参数，且0≤θ<2π．

(1)当时cosθ=0，判断函数f(x)是否有极值；

(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间内都是增函数，求实数的取值范围．

解：(Ⅰ)当cosθ=0时，f(x)=4x³，则f(x)在内是增函数，故无极值.

(Ⅱ)f′(x)=12x²-6xcosθ，令f′(x)=0，得

由(Ⅰ)，只需分下面两种情况讨论.

①当cosθ>0时，随x的变化f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：

x		0
f/(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

因此，函数f(x)在处取得极小值，且

要使，必有，可得

由于，故

②当时cosθ<0，随x的变化，f′(x)的符号及的变化情况如下表：

	+	0	－	0	+
		极大值		极小值

因此，函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)，且

若f(0) >0，则cosx>0。矛盾。所以当cosx<0时，f(x)的极小值不会大于零。

综上，要使函数f(x)在(－∞,+∞)内的极小值大于零，参数θ的取值范围为。

(III)由(II)知，函数f(x)在区间与内都是增函数。

由题设，函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数，则a须满足不等式组

　　　　 或 　　　　 　

由(II)，参数时时，。要使不等式关于参数恒成立，必有，即。

综上，解得或。

所以的取值范围是。

特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。

[例3](2006福建) 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：(0<x≤20)已知甲、乙两地相距100千米。

　　　 (I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

　　　 (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

　　　 解：(I)当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

　　　 要耗油(升)。

　　　 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

　　　 (II)当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，

　　　 依题意得

　　　 令得

　　　 当时，是减函数；

　　　 当时，是增函数。

　　　 当时，取到极小值

　　　 因为在上只有一个极值，所以它是最小值。

　　　 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

考查知识：函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。

[例4](2006广东)　 设函数分别在　 处取得极小值　 极大值　 平面上点A　 B的坐标分别为　 ,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点　 求(Ⅰ)点A　 B的坐标 ；

(Ⅱ)动点Q的轨迹方程

解: (Ⅰ)令解得

当时,, 当时, ,当时,

所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,

故,

所以, 点A　 B的坐标为　

(Ⅱ) 设，，PQ的中点在上，，

所以，

∴

∵

∴

∴

化简得

[研讨.欣赏](2006辽宁)已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a＞0,d＞0．设x₀为f(x)的极小值点,在［1-］上，f^/(x)在x₁处取得最大值，在x₂处取得最小值，将点(x₀,f(x₀))、(x₁,f^/(x₁))、(x₂,f(x₂))依次记为A， B， C

(I)求x₀的值

(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值

解(Ⅰ)：

令，得或　

当时，，

所以在处取极小值，即.

(Ⅱ)法一：

∴的图象开口向上，对称轴方程是，

，知

∴在上的最大值为，则，

又由，知

∴当时，取得最小值，即

，，

.

由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以

，即　　　　　　　　　　 　①

又由△ABC的面积为，得

，

利用，得. 　②　　

联立①，②可得.

法二：.

由知在上的最大值为，即

由，知，

∴当时，取得最小值，即

，

.

由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以

－，即.　　　　　 　①

又由△ABC的面积为，得

.

利用，得.　 　②

联立①，②可得.　　 　

5. ； 6. 当x∈(4,5)时,恒有f′(x)＞0.答案:③

4.y′=－2, 当0＜x＜时，y′＞0,为增函数.

当x＞时，y′＜0,是减函数.∴x=时，y有最大值.

6.如果函数y=f(x)的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:

①函数y=f(x)在区间(－3,－)内单调递增;

②函数y=f(x)在区间(－,3)内单调递减;

③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;

④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;

⑤当x=－时,函数y=f(x)有极大值.

则上述判断中正确的是_____________

简答:1－4.DDD；

5.(2006北京)已知是上的减函数，那么的取值范围是 　　　　　

4. 函数y=－2x(x≥0)的最大值为_____________.

3．(2005全国Ⅰ)函数f(x)=x³+ax²+3x－9已知f(x)在x=－3时取得极值，则a=(　 　)

A．2　　　　　　　　　　　　 B．3　　　　　　　　　　　　 C．4　　　　　　　　　　　　 D．5