4．有下列命题：①；②；③；④，其中正确命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．0个　　　　　　　　　　　 B．1个　　　　　　　　　　　 C．2个　　　　　　　　　　　 D．3个

3．下列函数中，在(0，π)上单调递增的是　 　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

A．y=sin(－x)　 B．y=cos(－x)　 C．y=tan　　　 D．y=tan2x

2．已知向量=(3，1)，=(2k－1，k)，⊥，则k的值是　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．－1　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．－　　　　　　 D．

1．若，则是　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　 　　　 B．　　　　　 　　 C．　　　 　　 D．

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例10 (07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是

(A) 　　(B) 　　　(C) 　　　(D)

解析：对,不等式恒成立

则由一次函数性质及图像知，即。

上述例子剖析了近三年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”。

　 利用分离参数法来确定不等式,( ,为实参数)恒成立中参数的取值范围的基本步骤:

(1) 将参数与变量分离，即化为(或)恒成立的形式；

(2) 求在上的最大(或最小)值；

(3) 解不等式(或) ，得的取值范围。

适用题型：(1) 参数与变量能分离；(2) 函数的最值易求出。

例8 (07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是　 .

解析: 当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则∴.

例9(09年山东卷文21)已知函数,其中 w.w.w.k.s.5…。

(1)　　　 当满足什么条件时,取得极值?

(2)　　　 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.

分析：此题虽有三个变量、、，而的范围已知，最终要用表示出的取值范围，所以可以将看成一个已知数，对和进行离参。

解析：(2) 在区间上单调递增在上恒成立恒成立，。设，，令得或(舍去)，

当时,，当时，单调增函数；

当时，单调减函数,

　　。。

当时，，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，，。

综上，当时, ；　 当时，。

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

例6(07辽宁卷文科22)已知函数，，且对任意的实数 均有，.

(Ⅰ) 求函数的解析式；

(Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围.

解析： (Ⅰ) ，

，而，恒成立.则由二次函数性质得　 ，解得，， 　。

(Ⅱ).令，则 即.由于，则有.　 解得 .所以的取值范围为。

例7 (08安徽文科20)．已知函数，其中为实数．

(Ⅱ)已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．(节选)

分析：已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解。

解析：由题设知“对都成立，即对都成立。设()，

则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。 所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是。

2、其它函数：

恒成立(注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0)；恒成立(注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0).

例3(07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数.

(1)试确定、的值；　

(2)讨论函数的单调区间；

(3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。

分析： 恒成立，即 ，要解决此题关键是求 ，。

解：(1)(2)略

(3)由(2)知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.

要使恒成立，只需.即，

从而. 解得或.　 的取值范围为.

例4(08天津文21)．设函数，其中．

(Ⅲ)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．(节选)

分析：，即，，，要解决此题关键是求。

解：(Ⅲ)由条件可知

，从而恒成立．当时，；当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意，不等式在上恒成立，当且仅当，

即，即在上恒成立．即，

所以，因此满足条件的的取值范围是．

例5(09年全国卷II文21)设函数，其中常数

(II)若当时，恒成立，求的取值范围。(节选)　 　

分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解：(II)由(I)知，当时，在或处取得最小值。

；

则由题意得　 　　　即解得　 　　。

1、二次函数：

①.若二次函数(或)在R上恒成立，则有(或)；

②.若二次函数(或)在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例1(08年江西卷理12)．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是( 　)

A．(0，2)　　 　　　B．(0，8)　　　　 C．(2，8)　 　　　D．(－∞，0)

分析：与的函数类型，直接受参数的影响，所以首先要对参

数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。

解析：当时，在上恒成立，而

在上恒成立，显然不满足题意；(如图1)

当时，在上递减且只在上恒成立，

而是一个开口向下且恒过定点(0，1)的二次函数，显然不满足题意。

当时，在上递增且在上恒成立，

而是一个开口向上且恒过定点(0，1)的二次函数，要使对任一实数，

与的值至少有一个为正数则只需在上恒成立。(如图3)

则有或解得或，

综上可得即。 故选B。

例2(09年江西卷文17)设函数．　 　　　　

(1)对于任意实数，恒成立，求的最大值。(节选)

解析：(1) , 对,, 即 在上恒成立, , 得，即的最大值为。

7．某运输公司有7辆可载的6t的A型卡车与4辆可载的10t的B型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车为252元，每天派出A型车和B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？