11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为CC1、AA1的中点,画出平面BED1F
与平面ABCD的交线.
解 在平面AA1D1D内,延长D1F,
∵D1F与DA不平行,
因此D1F与DA必相交于一点,设为P,
则P∈FD1,P∈DA.
又∵FD1平面BED1F,AD平面ABCD,
∴P∈平面BED1F,P∈平面ABCD.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,连接PB,
∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.如图所示.
10.定线段AB所在的直线与定平面相交,P为直线AB外的一点,且P不在内,若直线AP、BP与分别交于C、D点,求证:不论P在什么位置,直线CD必过一定点.
证明 设定线段AB所在直线为l,与平面交于O点,即l∩=O.
由题意可知,AP∩=C,BP∩=D,∴C∈,D∈.
又∵AP∩BP=P,
∴AP、BP可确定一平面且C∈,D∈.∴CD=∩.
∵A∈,B∈,∴l,∴O∈.∴O∈∩,即O∈CD.
∴不论P在什么位置,直线CD必过一定点.
9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.
求证:(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明 (1)如图所示,连接CD1,EF,A1B,
∵E、F分别是AB和AA1的中点,
∴EF∥A1B且EF=A1B,
又∵A1D1 BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1,
∴EF与CD1确定一个平面,
∴E,F,C,D1∈,
即E,C,D1,F四点共面.
(2)由(1)知EF∥CD1,且EF=CD1,
∴四边形CD1FE是梯形,
∴CE与D1F必相交,设交点为P,
则P∈CE平面ABCD,
且P∈D1F平面A1ADD1,
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.
又平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,
∴P∈AD,∴CE,D1F,DA三线共点.
8.已知a、b为不垂直的异面直线,是一个平面,则a、b在上的射影可能是
①两条平行直线; ②两条互相垂直的直线;
③同一条直线; ④一条直线及其外一点.
则在上面的结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).
答案 ①②④
7.如图所示,在三棱锥C-ABD中,E、F分别是AC和BD的中点,若CD=2AB=4,
EF⊥AB,则EF与CD所成的角是 .
答案 30°
6.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 .
答案
5.(2008·辽宁文)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AA1、CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有 条.
答案 无数
4.若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则说法错误的有 (填序号).
①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
答案 ①③④
3.已知a,b是异面直线,直线c∥直线a,则c与b的位置关系 .
①一定是异面直线 ②一定是相交直线
③不可能是平行直线 ④不可能是相交直线
答案 ③
2.给出下列命题:
①若平面内的直线a与平面内的直线b为异面直线,直线c是与的交线,那么直线c至多与a、b中的一条相交;
②若直线a与b为异面直线,直线b与c平行,则直线a与c异面;
③一定存在平面和异面直线a、b同时平行.
其中正确命题的序号是 .
答案 ③
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