56．[2010·重庆四月模拟]双曲线的左焦点为F₁，顶点为A₁，A₂，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF₁，A₁A₂为直径的两圆一定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

　　　 A．相交　　　　　　　　　 B．内切　　　　　　　　　 C．外切　　　　　　　　　 D．相离

[答案]B

[解析]可采用特殊值法，不妨设点A₂为点P，则以PF₁为直径的圆的方程为，A₁A₂为直径的圆的方程为x²+y²=c²，圆心距为正好等于两圆的半径之差，故两圆内切。

55．[2010·广东省茂名市二模]若圆O₁方程为，圆O₂方程为，则方程表示的轨迹是 (　　 )

　　　 A．线段O₁O₂的中垂线

　　　 B．过两圆内公切线交点且垂直线段O₁O₂的直线

　　　 C．两圆公共弦所在的直线

　　　 D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等

[答案]D

[解析]数式的几何意义为点P(x,y)到圆O₁的切线长的平方，为P(x,y)到圆O₂的切线长的平方，故切线长相等；又整理化简得：4x+3y－7=0为一条直线。故选D。

54．[2010·四川省绵阳南山中学五月模拟考试] 平面内到定点A(1,2)与到定直线2x+y－4=0的距离相等的点的轨迹是　 　　　 (　　 )

　　　 A．直线　　 　　　　　 B．抛物线　　　 　　 C．椭圆　　　 　　　 D．双曲线

[答案]A

[解析]因为点A(1,2)位于直线2x+y－4=0上，所以动点的轨迹为过A点与直线2x+y－4=0垂直的直线。故选A。

53．[2010·甘肃省兰州市五月实战模拟]已知两个正数a、b的等差中项为5，等比中项为4，则双曲线的离心率e等于　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　 D．

[答案]D

[解析]由题知，a+b=10，ab=16，所以或，从而e==或。

52. [2010·浙江四月五校联考]已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为(　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

[答案]D

[解析]一定关于原点对称，设，，，则，，。

51.[2010·朝阳区第二学期统一考试(二)]已知椭圆+=1(a>0,b>0)，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点. 若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为 (　 )

A.　　　　B.　　　C.　　　　D.

[答案]B

[解析]因为AB⊥BF，所以k_AB·k_BF=－1，即·(－)=－1，即b²=ac，所以a²－c²=ac，两边同除以a²，得e²+e－1=0，所以e=(舍负)，故选B。

50.[2010·湖北省普通高等学校招生全国统一考试模拟训练(二))]下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F₁、F₂为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e₁，e₂，e₃，则　　 (　　 )

　　　 A．e₁＞e₂＞e₃　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B． e₁＜e₂＜e₃　　 　

　　　 C． e₁＝e₃＜e₂　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．e₁＝e₃＞e₂　

[答案]D

[解析]在①中，|MF₂|－|MF₁|=c－c=2a，所以e₁==+1；在②中，e₂=；在③中易求得e₃=+1；所以e₁＝e₃＞e₂。故选D。

49.[2010·山东省济南市4月模拟]已知点P是以F₁、F₂为左、右焦点的双曲线

左支上一点，且满足，则此双曲线的离心率为　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

[答案]D

[解析]因为，所以PF₁⊥PF₂，并且|PF₂|=|PF₁|，又|PF₂|－|PF₁|=2,即|PF₁|=4a，|PF₂|=6a，又在三角形PF₁F₂中，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，即16a²+36a²=4c²，所以e==.

48．[2010·甘肃省部分普通高中第二次联考]过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 (　　 )

A．　　　 　　　　 B．　　　 　　　　　　　 C．　　　 　　　　 D．

[答案]C

[解析]过点A(a,0)的直线方程为y=－x+a，与两渐近线y=±x联立解得x_B=,x_C=，由，得－a=(－)，整理得b=2a，从而离心率e==.

47.[2010·曲靖一中届高考冲刺卷数学(六)]若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率为(　 )

A、2　　　　　　 B、　　　　　 C、　　　　 　D、

[答案]B

[解析]抛物线的准线为x=2，即双曲线的右准线为x=2==，故c=4，所以离心率为e===.