106. [2010 •江苏卷]在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。

(1)设动点P满足,求点P的轨迹；

(2)设，求点T的坐标；

(3)设,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。

[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。

解：(1)设点P(x，y)，则：F(2，0)、B(3，0)、A(-3，0)。

由，得 化简得。

故所求点P的轨迹为直线。

(2)将分别代入椭圆方程，以及得：M(2，)、N(，)

直线MTA方程为：，即，

直线NTB 方程为：，即。

联立方程组，解得：，

所以点T的坐标为。

(3)点T的坐标为

直线MTA方程为：，即，

直线NTB 方程为：，即。

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，

解得：、。

(方法一)当时，直线MN方程为：

　令，解得：。此时必过点D(1，0)；

当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D(1，0)。

所以直线MN必过x轴上的一定点D(1，0)。

(方法二)若，则由及，得，

此时直线MN的方程为，过点D(1，0)。

若，则，直线MD的斜率，

直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。

因此，直线MN必过轴上的点(1，0)。

105. [2010 •广东理数] 一条双曲线的左、右顶点分别为A₁,A₂，点，是双曲线上不同的两个动点。

　　 (1)求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程式；

　　 (2)若过点H(0, h)(h>1)的两条直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，且 _,求h的值。

故，即。

(2)设，则由知，。

将代入得

，即，

由与E只有一个交点知，，即

。

同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而，即。

104. [2010 •天津理数]已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。

(1)　　　 求椭圆的方程；

(2)　　　 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为()，点在线段的垂直平分线上，且，求的值

[解析]本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分

解：(1)由，得，再由，得

由题意可知，

解方程组 得 a=2,b=1

所以椭圆的方程为

(2)由(1)可知A(-2,0)。设B点的坐标为(x_1,,y₁),直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),

于是A,B两点的坐标满足方程组

由方程组消去Y并整理，得

由得

设线段AB是中点为M，则M的坐标为

以下分两种情况：

(1)当k=0时，点B的坐标为(2,0)。线段AB的垂直平分线为y轴，于是

(2)当K时，线段AB的垂直平分线方程为

令x=0，解得

由

整理得

综上

103. [2010 •天津文数]已知椭圆(a>b>0)的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为(-a，0).

　　　 (i)若，求直线l的倾斜角；

　　　 (ii)若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.

解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.

(Ⅰ)解：由e=，得.再由，解得a=2b.

由题意可知，即ab=2.

解方程组得a=2，b=1.

所以椭圆的方程为.

(Ⅱ)(i)解：由(Ⅰ)可知点A的坐标是(-2,0).设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k(x+2).

于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得

.

由，得.从而.

所以.

由，得.

整理得，即，解得k=.

所以直线l的倾斜角为或.

(ii)解：设线段AB的中点为M，由(i)得到M的坐标为.

以下分两种情况：

(1)当k=0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是

由，得。

(2)当时，线段AB的垂直平分线方程为。

令，解得。

由，，

，

整理得。故。所以。

综上，或

102. [2010 •四川理数]已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N

(1)求E的方程；

(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.

解：(1)设P(x,y)，则

化简得x²－=1(y≠0)

　(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)

与双曲线x²－=1联立消去y得

(3－k)²x²+4k²x－(4k²+3)＝0

由题意知3－k²≠0且△＞0

设B(x₁,y₁),C(x₂,y₂)，

则

y₁y₂＝k²(x₁－2)(x₂－2)＝k²[x₁x₂－2(x₁+x₂)+4]

　 ＝k²(+4)

　 ＝

因为x₁、x₂≠－1

所以直线AB的方程为y＝(x+1)

因此M点的坐标为()

,同理可得

因此

　　　　　　 ＝

　　　　　　 ＝0

②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)

AB的方程为y＝x+1,因此M点的坐标为()，

同理可得

因此＝0

综上＝0，即FM⊥FN

故以线段MN为直径的圆经过点F

101. [2010•北京理数]在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

解：(I)因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.

　　 设点的坐标为

　　 由题意得

　　 化简得　 .

　　 故动点的轨迹方程为

(II)解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.

　 则直线的方程为，直线的方程为

令得，.

于是得面积

又直线的方程为，，

点到直线的距离.

于是的面积

当时，得

又，

所以=，解得。

因为，所以

故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.

解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为

　　　 则.

　　　 因为,

　　　 所以

　　　 所以

　　　 即 ，解得

　　　 因为，所以

　　　 故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.

100. [2010•北京文数]已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；

(Ⅲ)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。

解：(Ⅰ)因为，且，所以

所以椭圆C的方程为

(Ⅱ)由题意知

由　 得

所以圆P的半径为

解得　　　　　 所以点P的坐标是(0，)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以

设，则

当，即，且，取最大值2.

99. [2010•安徽文数]椭圆经过点，对称轴为坐标轴，

焦点在轴上，离心率。

　　 (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。

[解析](1)设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；(2)可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得.

解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为

[规律总结]对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为，根据题目满足的条件求出，得椭圆方程，这一问通常比较简单；(2)对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.

98. [2010•江西理数]设椭圆，抛物线。

(1)　　　 若经过的两个焦点，求的离心率；

(2)　　　 设A(0，b)，,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。

解：考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。

(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由

。

(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有

。

　　　 由点在抛物线上，，解得：

故，得重心坐标.

　　 由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。

97. [2010 •辽宁理数]设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60^o,.

(I)　　　　　　　　　 求椭圆C的离心率；

(II)　　　　　　　　 如果|AB|=，求椭圆C的方程.

解：设，由题意知＜0，＞0.

(Ⅰ)直线l的方程为　 ，其中.

联立得

解得

因为，所以.

即

得离心率 .　　　　　　　　　　

(Ⅱ)因为，所以.

由得.所以，得a=3，.

椭圆C的方程为.