(17)(本小题满分12分)

为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

(17) 解：

方案一：①需要测量的数据有：A

　点到M，N点的俯角；B点到M，

N的俯角；A，B的距离 d (如图)

所示) .　　　　　　　 ……….3分

　　 ②第一步：计算AM . 由正弦定理　；

　　　 第二步：计算AN . 由正弦定理　；

　　　 第三步：计算MN. 由余弦定理 .

方案二：①需要测量的数据有：

　　 A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d (如图所示).

　　 ②第一步：计算BM . 由正弦定理　；

　　第二步：计算BN . 由正弦定理　；　　　

　　　 第三步：计算MN . 由余弦定理

(18)(本小题满分12分)

某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)，现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)。

(I)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；　　　

(II)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.

表1：

生产能力分组
人数	4	8		5	3

表2：

生产能力分组
人数	6	y	36	18

(i)先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)　　　

(ii)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)　　　

(18)　　　 解：

(Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为　　

　　 .

　(Ⅱ)(i)由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.

　 故　 ，得，

　　 ，得 .　

　 频率分布直方图如下

　　　 从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 .

　 (ii) ，

　　　　 ，

　　　　

　　 A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1 .

(19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。　　　　　　　　　　 　　　　　　　　

(Ⅰ)求证：AC⊥SD；　　　

(Ⅱ)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，　　　

使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；

若不存在，试说明理由。

(19)解法一：

　　 (Ⅰ)连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.

　　　 (Ⅱ)设正方形边长，则。

又，所以,

　 　　连，由(Ⅰ)知,所以, 　　

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小为。

　 (Ⅲ)在棱SC上存在一点E，使

由(Ⅱ)可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

解法二：

　　 (Ⅰ)；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。

　 设底面边长为，则高。

　 于是　　

　　　　　　 　 　　

　　　　　　

　　　　　　

　　　　 　　

故　　

从而　

　　　 (Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为

　　 (Ⅲ)在棱上存在一点使.

　　　 由(Ⅱ)知是平面的一个法向量，

　　 且　

设　　 　　

则　　　

而　　　

即当时， 　 　　

而不在平面内，故

(20)(本小题满分12分)

　 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。　　　

(20)解:

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

，　　

所以椭圆的标准方程为 　 　　

(Ⅱ)设，其中。由已知及点在椭圆上可得

。

整理得，其中。

(i)时。化简得 　　

所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。

(ii)时，方程变形为，其中

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；

(21)(本小题满分12分)

已知函数

(I)　　　　　　　　　　 如，求的单调区间；

(II)　　　　　　　　　 若在单调增加，在单调减少，证明

＜6. 　　　

　(21)解：

(Ⅰ)当时，，故　 　　

　

　 　　

当

当

从而单调减少.

(Ⅱ)

由条件得：从而

因为所以

　　　　　　　　　

将右边展开，与左边比较系数得，故

又由此可得

于是 　　

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

(22)本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲　　　

　 如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，

且。

(I)　　　　　　　　　　 证明：B,D,H,E四点共圆：

(II)　　　　　　　　　 证明：平分。　　　

(22)解：

　　 (Ⅰ)在△ABC中，因为∠B=60°，

所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为AD，CE是角平分线，

所以∠HAC+∠HCA=60°，

故∠AHC=120°. 　 　　

于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°，

所以B,D,H,E四点共圆.

(Ⅱ)连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°

由(Ⅰ)知B,D,H,E四点共圆，

所以∠CED=∠HBD=30°.

又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，

可得∠CEF=30°.

所以CE平分∠DEF. 　　

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程。

　　 已知曲线C： (t为参数)， C：(为参数)。

(1)化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线

　 (t为参数)距离的最小值。　　　　　

(23)解：

(Ⅰ)

为圆心是(，半径是1的圆.

为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

(Ⅱ)当时，

为直线

从而当时，

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.

(1)将y表示成x的函数；

(2)要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？　　　

(24)解：

　　 (Ⅰ)

　　 (Ⅱ)依题意，x满足

　　　 {

解不等式组，其解集为[9，23]

所以　　　 　 　

(13)设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为(2，2)，则直线的方程为_____________.

解析：抛物线的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　 ，

答案：y=x

(14)已知函数y=sin(x+)(>0, -<)的图像如图所示，则　 =________________　

解析：由图可知，

答案：

(15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种(用数字作答)。

解析：，答案：140

(16)等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______

解析：由+-=0得到。

答案10

(17)(本小题满分12分)　 　　　　

如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。　　　　　　　 　 　　　　　

(17) 解：

作交BE于N，交CF于M．

，　 　　　　

，

．　．．．．．．6分　 　　　　

在中，由余弦定理，

.　 ．．．．．．12分

(18)(本小题满分12分)

如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º

(Ⅰ)证明：AB⊥PC

(Ⅱ)若，且平面⊥平面，　　　

求三棱锥体积。 (18)解：

(Ⅰ)因为是等边三角形，,

所以,可得。

如图，取中点，连结,,

则,,

所以平面,

所以。　　　　　　　　　　　 ．．．．．．6分　 　　　　

(Ⅱ)作，垂足为，连结．

因为，

所以，．

由已知，平面平面，故．　　　　．．．．．．8分

因为，所以都是等腰直角三角形。

由已知，得， 的面积．

因为平面，

所以三角锥的体积

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．12分

(19)(本小题满分12分)

　 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).

(Ⅰ)A类工人中和B类工人各抽查多少工人？

(Ⅱ)从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2

表1：

生产能力分组
人数	4	8		5	3

表2：

生产能力分组
人数	6	y	36	18

(1)　　　 先确定，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)

(ii)分别估计类工人和类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)。

(19)解：

(Ⅰ)类工人中和类工人中分别抽查25名和75名。　　　　　　　 ．．．．．．4分

(Ⅱ)(ⅰ)由，得，

　　　　　　 ，得。　 　　　　

频率分布直方图如下

　　　　　　　　 ．．．．．．8分

从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小。　　　　　　　　 ．．．．．．9分

　(ii) ，

　　　 ，　 　　　　

　　　

A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.

(20)(本小题满分12分)

已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个

焦点的距离分别是7和1

(I)　　　　　　　　　　 求椭圆的方程‘

(II)　　　　　　　　　 若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，

(e为椭圆C的离心率)，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

(20)解：

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得　 　　　　

{　 解得a=4,c=3,

所以椭圆C的方程为 　 　　　　

(Ⅱ)设M(x,y),P(x,),其中由已知得

而，故　　　　　 　①

由点P在椭圆C上得　　　　 　 　　　　

代入①式并化简得

所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. 　 　　　　

(21)(本小题满分12分)

已知函数.

(1)　 设，求函数的极值；

(2)　 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。　 　　　　

(21)解：

(Ⅰ)当a=1时，对函数求导数，得

　　　 令 　 　　　　

列表讨论的变化情况：

			(-1，3)	3
	+	0	-	0	+
		极大值6		极小值-26

所以，的极大值是，极小值是

(Ⅱ)的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.

若上是增函数，从而　 　　　　

上的最小值是最大值是

由于是有　 　　　　

由

所以 　 　　　　

若a>1,则不恒成立.

所以使恒成立的a的取值范围是 　 　　　　

(22)(本小题满分10分)选修4-1；几何证明选讲

如图，已知ABC中的两条角平分线和相交于，B=60，在上，且。　 　　　　

(1)证明：四点共圆；

　　　　 (2)证明：CE平分DEF。

　 (22)解：

(Ⅰ)在△ABC中，因为∠B=60°， 　　　　　

所以∠BAC+∠BCA­=120°.

因为AD,CE是角平分线，

所以∠HAC+∠HCA=60°，　 　　　　

故∠AHC=120°.

于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°，

所以B,D,H,E四点共圆。

(Ⅱ)连结BH，则BH为的平分线，得30°　 　　　　

由(Ⅰ)知B，D，H，E四点共圆，　 　　　　

所以30°

又60°，由已知可得，

可得30°　 　　　　

所以CE平分

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程。

　　 已知曲线C： (t为参数)， C：(为参数)。

(1)化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线

　 (t为参数)距离的最小值。　 　　　　

(23)解：

(Ⅰ) 　 　　　　

为圆心是，半径是1的圆。

为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。　 　　　　

(Ⅱ)当时，，故

为直线，

M到的距离 　 　　　　

从而当时，取得最小值 　 　　　　

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

如图，为数轴的原点，为数轴上三点，为线段上的动点，设表示与原点的距离， 表示到距离4倍与到距离的6倍的和.

(1)将表示为的函数；

(2)要使的值不超过70， 应该在什么范围内取值？

　 　　　　

(24)解：

(Ⅰ) 　 　　　　

(Ⅱ)依题意，满足

解不等式组，其解集为

所以　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　

22、解析：(I)因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 　 　

，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；　 　

(II)当时有；

当时有，因为当时不合题意，因此，

下面讨论的情形，记A，B=(ⅰ)当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，(ⅱ)当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合(ⅰ)(ⅱ)；

当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．　 　

21、解析：(I)由题意得所求的椭圆方程为，　 　

(II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，

设线段MN的中点的横坐标是，则，　 　

设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；

当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．

20、证明：(I)如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，　 　

则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面

(II)设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．　 　

19、解析：(I)记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；　 　

(II)随机变量的取值为的分布列为

	0	1	2
P

所以的数学期望为 　 　

18、解析：(I)因为，，又由，得， 　 　

(II)对于，又，或，由余弦定理得， 　 　

17、答案：

　[解析]此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 　 　

16、答案：336　

[解析]对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．