6.若,则
的值为
(A)2 (B)0 (C) (D)
答案:C.
解析:由题意容易发现,则
, 同理可以得出
,
………
亦即前2008项和为0, 则原式==
故选C.
5.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为
(A)9 (B)18 (C)27 (D) 36
答案B.
解析:由比例可得该单位老年职工共有90人,用分层抽样的比例应抽取18人.
4.过原点且倾斜角为的直线被圆学
所截得的弦长为科网
(A) (B)2
(C)
(D)2
答案:D.
解析:,圆心
到直线的距离
,由垂径定理知所求弦长为
故选D.
3.函数的反函数为
(A)
(B)
(C)
(D)学科
答案:D.
2.若,则
的值为
(A)0 (B) (C)1 (D)
答案:B.
解析: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以得,
故选B.
1.设不等式的解集为M,函数
的定义域为N,则
为
(A)[0,1) (B)(0,1) (C)[0,1] (D)(-1,0]
答案:A.
解析:,则
,故选A.
21.(本小题满分13分)
对于数列,若存在常数M>0,对任意的
,恒有
,
则称数列为
数列.
(Ⅰ)首项为1,公比为的等比数列是否为B-数列?请说明理由;
(Ⅱ)设是数列
的前n项和.给出下列两组判断:
A组:①数列是B-数列, ②数列
不是B-数列;
B组:③数列是B-数列, ④数列
不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题.
判断所给命题的真假,并证明你的结论;
(Ⅲ)若数列是B-数列,证明:数列
也是B-数列。
解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为,则
.于是
==
所以首项为1,公比为的等比数列是B-数列 .
(Ⅱ)命题1:若数列是B-数列,则数列
是B-数列.此命题为假命题.
事实上设=1,
,易知数列
是B-数列,但
=n,
.
由n的任意性知,数列不是B-数列。
命题2:若数列是B-数列,则数列
不是B-数列。此命题为真命题。
事实上,因为数列是B-数列,所以存在正数M,对任意的
,有
,
即.于是
,
所以数列是B-数列。
(注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法)
(Ⅲ)若数列是B-数列,则存在正数M,对任意的
有
.
因为
.
记,则有
.
因此.
故数列是B-数列.
20.(本小题满分13分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点
为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点P是椭圆C的左准线与轴的交点,过点P的直线
与椭圆C相交于M,N两点,当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时,求直线
的斜率的取值范围。
解:
(Ⅰ)依题意,设椭圆C的方程为焦距为
,
由题设条件知, 所以
故椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标
,
显然直线的斜率
存在,所以直线
的方程为
。
如图,设点M,N的坐标分别为线段MN的中点为G
,
由得
. ……①
由解得
.
……②
因为是方程①的两根,所以
,于是
=
,
.
因为,所以点G不可能在
轴的右边,
又直线,
方程分别为
所以点在正方形
内(包括边界)的充要条件为
即
亦即
解得,此时②也成立.
故直线斜率的取值范围是
19.(本小题满分13分)
已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)若在
处取得最小值,记此极小值为
,求
的定义域和值域。
解: (Ⅰ).因为函数
的图象关于直线x=2对称,
所以,于是
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
.
(ⅰ)当c 12时,
,此时
无极值。
(ii)当c<12时,有两个互异实根
,
.不妨设
<
,则
<2<
.
当x<时,
,
在区间
内为增函数;
当<x<
时,
,
在区间
内为减函数;
当时,
,
在区间
内为增函数.
所以在
处取极大值,在
处取极小值.
因此,当且仅当时,函数
在
处存在唯一极小值,所以
.
于是的定义域为
.由
得
.
于是 .
当时,
所以函数
在区间内是减函数,故
的值域为
17.(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、
、
.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:
(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
i=1,2,3.由题意知
相互独立,
相互独立,
相互独立,(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,
且
(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=
(Ⅱ)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率
P=
18.(本小题满分12分)
如图3,在正三棱柱中,
AB=4,
,点D是BC的中点,
点E在AC上,且DEE.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。
解:(Ⅰ)如图所示,由正三棱柱的性质知
平面
.
又DE
平面ABC,所以DE
.而DE
E,
,
所以DE⊥平面.又DE
平面
,
故平面⊥平面
.
(Ⅱ)解法 1: 过点A作AF垂直于点
,
连接DF.由(Ⅰ)知,平面⊥平面
,
所以AF平面
,故
是直线AD和
平面所成的角。
因为DE
,
所以DEAC.而
ABC是边长为4的正三角形,
于是AD=,AE=4-CE=4-
=3.
又因为,所以
E=
=
4,
,
.
即直线AD和平面所成角的正弦值为
.
解法2 : 如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,
则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),
(2,0,
),
D(-1,
,0), E(-1,0,0).
易知=(-3,
,-
),
=(0,-
,0),
=(-3,
,0).
设
是平面
的一个法向量,则
解得.
故可取.于是
=
.
由此即知,直线AD和平面所成角的正弦值为
.
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