16. (宁夏海南19)(本小题满分12分)如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点。
(Ⅰ)求证:AC⊥SD;
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,
使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;
若不存在,试说明理由。
解法一:
(Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意。在正方形ABCD中,,所以,得.
(Ⅱ)设正方形边长,则。
又,所以,
连,由(Ⅰ)知,所以,
且,所以是二面角的平面角。
由,知,所以,
即二面角的大小为。
(Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使
由(Ⅱ)可得,故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知,又由于,故平面,得,由于,故.
解法二:
(Ⅰ);连,设交于于,由题意知.以O为坐标原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立坐标系如图。
设底面边长为,则高。
于是
故 , 从而
(Ⅱ)由题设知,平面的一个法向量,平面的一个法向量,
设所求二面角为,则,所求二面角的大小为
(Ⅲ)在棱上存在一点使.由(Ⅱ)知是平面的一个法向量,且
设 则
而 ,即当时,
而不在平面内,故
15. (辽宁18) (本小题满分12分)
如图,己知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,
M,N分别为AB , DF的中点。
(1)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF
所成角的正弦值;
(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线。
(18)解:(1)解法一:取CD的中点G,连结MG,NG, .
设正方形ABCD,DCEF的边长为2,
则MG⊥CD ,MG=2,NG= , .
因为平面ABCD⊥平面DCEF,所以MG⊥平面DCEF 。
可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。
因为MN=,所以 ,故MN与平面DCEF所成的角的正弦值为.
解法二:
设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点,分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.
则M(1,0,2),N(0,1,0),可得,
又为平面DCEF的法向量,
可得,
所以MN与平面DCEF所成的角的正弦值为.
(2)假设直线ME与BN共面,
则 AB平面MBEN ,且平面MBEN与平面DCEF交于EN,
由已知,两正方形不共面,故AB平面DCEF .
又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,
所以AB∥EN,又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立.
所以ME与BN不共面,它们是异面直线.
14. (广东18)(本小题满分14分)如图6,已知正方体的棱长为2,点E是正方形的中心,点F、G分别是棱的中点.设点分别是点E,G在平面内的正投影.
(1)求以E为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;
(2)证明:直线;
(3)求异面直线所成角的正统值
解:(1)依题作点、在平面内的正投影、,则、分别为、的中点,连结、、、,则所求为四棱锥的体积,其底面面积为
,
又面,,∴.
(2)以为坐标原点,、、所在直线分别作轴,轴,轴,得、,又,,,则,,,
∴,,即,,
又,∴平面.
(3),,则,设异面直线所成角为,则.
13. (福建17)(13分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,,
,且MD=NB=1,E为BC的中点
(1) 求异面直线NE与AM所成角的余弦值
(2) 在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由
解析:(1)在如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标
依题意,得。
,
所以异面直线与所成角的余弦值为.A
(2)假设在线段上存在点,使得平面.
,可设
又.
由平面,得即
故,此时.
经检验,当时,平面.
故线段上存在点,使得平面,此时.
12. (安徽18)(本小题满分13分)
如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.
(I)求二面角B-AF-D的大小;
(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.
本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识,考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。
解:(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OGAF,
G为垂足。连接BG、DG。由BDAC,BDCF得BD平面ACF,故BDAF。
于是AF平面BGD,所以BGAF,DGAF,BGD为二面角B-AF-D 的平面角。
由, ,得,
由,得
(向量法)以A为坐标原点,、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)
设平面ABF的法向量,则由得
令,得,
同理,可求得平面ADF的法向量。
由知,平面ABF与平面ADF垂直,二面角B-AF-D的大小等于。
(II)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP⊥平面ABCD,P为垂足。
因为EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,,所以平面ACFE⊥平面ABCD,从而
由得。
又因为
故四棱锥H-ABCD的体积
11.(辽宁15)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m),
则该几何体的体积为_________m3。
答案:4 解析:设几何体的直观图如右,
则。
10.(浙江17)如图,在长方形中,,,为的中点,为线段(端点除
外)上一动点.现将沿折起,使平面平面.在平面内过点
作,为垂足.设,则的取值范围是 .
答案: [解析]此题的破解可采用二个极端位置法,即对于F位于DC的中点时,,随着F点到C点时,因平面,即有,对于,又,因此有,则有,因此的取值范围是
9.(浙江12)若某几何体的三视图(单位:)如图所示,
则此几何体的体积是 .
答案:18
解析:该几何体是由二个长方体组成,下面体积为,
上面的长方体体积为,因此其几何体的体积为18
8. (江苏12)设和为不重合的两个平面,给出下列命题:
(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;
(2)若外一条直线与内的一条直线平行,则和平行;
(3)设和相交于直线,若内有一条直线垂直于,则和垂直;
(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。
上面命题中,真命题的序号 ▲ (写出所有真命题的序号).
解析:考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题的序号是(1)(2)
7. (天津12) 如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则
_______
[考点定位]本小题考查三视图、三棱柱的体积,基础题。
解析:知此几何体是三棱柱,其高为3,底面是底边长为2,底边上的高为的等腰三角形,所以有
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