50.(2009年上海卷理)已知函数的反函数。定义:若对给定的实数
,函数
与
互为反函数,则称
满足“
和性质”;若函数
与
互为反函数,则称
满足“
积性质”。
(1)
判断函数是否满足“1和性质”,并说明理由;
(2) 求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3)
设函数对任何
,满足“
积性质”。求
的表达式。
解 (1)函数的反函数是
而其反函数为
故函数不满足“1和性质”
(2)设函数满足“2和性质”,
…….6分
而得反函数
………….8分
由“2和性质”定义可知=
对
恒成立
即所求一次函数为
………..10分
(3)设,
,且点
在
图像上,则
在函数
图象上,
故,可得
,
......12分
令,则
。
,即
。 ......14分
综上所述,,此时
,其反函数就是
,
而,故
与
互为反函数 。
2005-2008年高考题
7.(2009江苏卷)(本小题满分16分)
设为实数,函数
.
(1)若,求
的取值范围;
(2)求的最小值;
(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式
的解集.
解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分
(1)若,则
(2)当时,
当时,
综上
(3)时,
得
,
当时,
;
当时,△>0,得:
讨论得:当时,解集为
;
当时,解集为
;
当时,解集为
.
49.(2009浙江理)(本题满分14分)已知函数,
,
其中.
(I)设函数.若
在区间
上不单调,求
的取值范围;
(II)设函数 是否存在
,对任意给定的非零实数
,存在惟一
的非零实数(
),使得
成立?若存在,求
的值;若不存
在,请说明理由.
解 (I)因,
,因
在区间
上不单调,所以
在
上有实数解,且无重根,由
得
,令
有
,记
则
在
上单调递减,在
上单调递增,所以有
, 于是
,得
,而当
时有
在
上有两个相等的实根
,故舍去,所以
;
(II)当时有
;
当时有
,因为当
时不合题意,因此
,
下面讨论的情形,记A
,B=
(ⅰ)当
时,
在
上单调递增,所以要使
成立,只能
且
,因此有
,(ⅱ)当
时,
在
上单调递减,所以要使
成立,只能
且
,因此
,综合(ⅰ)(ⅱ)
;
当时A=B,则
,即
使得
成立,因为
在
上单调递增,所以
的值是唯一的;
同理,,即存在唯一的非零实数
,要使
成立,所以
满足题意.
48.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)
已知二次函数的导函数的图像与直线
平行,且
在
=-1处取得最小值m-1(m
).设函数
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为
,求m的值
(2) 如何取值时,函数
存在零点,并求出零点.
解 (1)设,则
;
又的图像与直线
平行
又在
取极小值,
,
,
;
, 设
则
;
(2)由,
得
当时,方程
有一解
,函数
有一零点
;
当时,方程
有二解
,若
,
,
函数有两个零点
;若
,
,函数
有两个零点
;
当时,方程
有一解
,
,
函数
有一零点
47.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数,满足
,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间
上有四个不同的根
,则
答案 -8
解析 因为定义在R上的奇函数,满足,所以
,所以, 由
为奇函数,所以函数图象关于直线
对称且
,由
知
,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为
在区间[0,2]上是增函数,所以
在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间
上有四个不同的根
,不妨设
由对称性知
所以
[命题立意]:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,
对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,
运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.
46.(2009江苏卷)已知,函数
,若实数
、
满足
,则
、
的大小关系为 .
解析 考查指数函数的单调性。
,函数
在R上递减。由
得:m<n
45.(2009北京理)若函数 则不等式
的解集为____________.
答案
解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算
的考查.
(1)由.
(2)由.
∴不等式的解集为
,∴应填
.
41.(2009重庆卷理)若是奇函数,则
.
答案
解析 解法1
42(2009上海卷文) 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.
答案
解析 由y=x3+1,得x=,将y改成x,x改成y可得答案。
44(2009北京文)已知函数若
,则
.
.w.w.k.s.5 答案
.w 解析 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.
由,
无解,故应填
.
40.(2009重庆卷文)把函数的图像
向右平移
个单位长度,再向下平移
个单位长度后得到图像
.若对任意的
,曲线
与
至多只有一个交点,则
的最小值为 ( )
A. B.
C.
D.
答案 B
解析 根据题意曲线C的解析式为则方程
,即
,即
对任意
恒成立,于是
的最大值,令
则
由此知函数
在(0,2)上为增函数,在
上为减函数,所以当
时,函数
取最大值,即为4,于是
。
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