5. (2009湖南卷理)(本小题满分13分)
某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为
米的相邻两墩之间的桥面工程费用为
万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为
万元。
(Ⅰ)试写出关于
的函数关系式;
(Ⅱ)当=640米时,需新建多少个桥墩才能使
最小?
解 (Ⅰ)设需要新建个桥墩,
所以
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,
令,得
,所以
=64
当0<<64时
<0,
在区间(0,64)内为减函数;
当时,
>0.
在区间(64,640)内为增函数,
所以在
=64处取得最小值,此时,
故需新建9个桥墩才能使最小。
3.(2009山东卷理)(本小题满分12分)
两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在
的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.
(1)将y表示成x的函数;
(11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由。
解法一:(1)如图,由题意知AC⊥BC,
,
其中当时,y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
(2),
,令
得
,所以
,即
,当
时,
,即
所以函数为单调减函数,当
时,
,即
所以函数为单调增函数.所以当
时, 即当C点到城A的距离为
时, 函数
有最小值.
解法二: (1)同上.
(2)设,
则,
,所以
当且仅当
即
时取”=”.
下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
设0<m1<m2<160,则
,
因为0<m1<m2<160,所以4>4×240×240
9 m1m2<9×160×160所以,
所以即
函数
在(0,160)上为减函数.
同理,函数在(160,400)上为增函数,设160<m1<m2<400,则
因为1600<m1<m2<400,所以4<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160
所以,
所以即
函数
在(160,400)上为增函数.
所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,
所以弧上存在一点,当
时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.
[命题立意]:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.
2.(2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a
1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
答案
解析 设函数且
和函数
,则函数f(x)=a
-x-a(a>0且a
1)有两个零点, 就是函数
且
与函数
有两个交点,由图象可知当
时两函数只有一个交点,不符合,当
时,因为函数
的图象过点(0,1),而直线
所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是
.
[命题立意]:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答
2009年高考题
1.(2009福建卷文)若函数的零点与
的零点之差的绝对值不超过0.25, 则
可以是
A. B.
C. D.
答案 A
解析 的零点为x=
,
的零点为x=1,
的零点为x=0,
的零点为x=
.现在我们来估算
的零点,因为g(0)= -1,g(
)=1,所以g(x)的零点x
(0,
),又函数
的零点与
的零点之差的绝对值不超过0.25,只有
的零点适合,故选A。
8.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知函数
(1)求反函数
(2)判断是奇函数还是偶函数并证明。
解 (1)令则
∵t2-2yt-1=0
∴t=y+
∵10x=y+w.w.
∴f-1(x)=lg(x+)(x
R)
(2)
==-lg(x+
)=-f-1(x)
为奇函数
第三节 函数、方程及其应用
7.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b),
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)证明:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围。
解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
(2)令a=x,b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0
∴又x=0时,f(0)=1>0
∴对任意x∈R,f(x)>0
(3)任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0
∴
∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数
(4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0),
f(x)在R上递增
∴由f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0 ∴ 0<x<3
6.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数
(1)判断函数的奇偶性。 (2)判断函数
的单调性。
解 (1)
=
∴为奇函数
(2)是R上的增函数,(证明略)
5.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点
,则
满足=27的x的值是
.
答案
4.(2008年高考数学各校月考试题)已知函数的图象与函数g(x)的图象关于直线
对称,令
则关于函数
有下列命题:
①的图象关于原点对称; ②
为偶函数;
③的最小值为0; ④
在(0,1)上为减函数.
其中正确命题的序号为 (注:将所有正确命题的序号都填上)
答案 ②③
3.(2007届高三数学二轮复习新型题专题训练)一次研究性课堂上,老师给出函数
(x
R),三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题:
甲:函数f(x)的值域为(-1,1);乙:若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
丙:若规定,
对任意
N*恒成立.
你认为上述三个命题中正确的个数有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案 D
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